4.4. Критерий Коши предела функции

Определение 4.13. $f\colon E \to \mathbb {R}$ удовлетворяет условию Коши в точке $a$, если $a$ — предельная точка множества $E$ и

$$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x, x' \in B_\delta '(a) \cap E\colon |f(x) - f(x')| < \varepsilon .$$

Теорема 4.8. $f\colon E \to \mathbb {R}$ имеет конечный предел в точке $a$ тогда и только тогда, когда $f$ удовлетворяет условию Коши в точке $a$.

$\blacktriangle$ $(\Rightarrow )$ Пусть $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b \in \mathbb {R}$, тогда $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x \in B_\delta '(a) \cap E\colon |f(x) - b| < \frac\varepsilon 2$. Поэтому, если $x, x' \in B_\delta '(a) \cap E$, то

$$|f(x) - f(x')| = |(f(x) - b) - (f(x') - b)| \leqslant |f(x) - b| + |f(x') - b| < \frac\varepsilon 2 + \frac\varepsilon 2 = \varepsilon ,$$

т.е. $f$ удовлетворяет условию Коши в точке $a$.

$(\Leftarrow )$ Пусть $f\colon E \to \mathbb {R}, a$ — предельная точка $E$ и $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta >0\ \forall x, x' \in B_\delta '(a)\cap E\colon$ $|f(x) - f(x')| < \varepsilon$.
Возьмём любую последовательность точек $x_ n \in E \backslash \{ a\} , x_ n \to a$. Тогда $\forall \delta >0\ \exists N\ \forall n > N\colon x_ n \in B_\delta '(a)\cap E$. Значит $\forall n > N, m > N\colon |f(x_ n) - f(x_ m)| < \varepsilon \Rightarrow \{ f(x_ n)\}$ — фундаментальная. По критерию Коши для последовательностей $\{ f(x_ n)\}$ сходится. Покажем, что предел $\{ f(x_ n)\}$ не зависит от выбора $\{ x_ n\}$. Пусть $x_ n \in E\backslash \{ a\} , x_ n\to a$, и $y_ n \in E\backslash \{ a\} , y_ n\to a$. Рассмотрим $\{ z_ n\} , z_ n = \begin{cases} x_ k, n = 2k-1\\y_ k, n = 2k \end{cases}$, т.е. $\{ z_ n\} \colon x_1, y_1, x_2, y_2, \ldots$

Тогда $z_ n \in E\backslash \{ a\} , z_ n\to a$. По доказанному $\{ f(z_ n)\}$ имеет предел. По лемме 3.4 о сходимости подпоследовательности и единственности предела последовательности $\lim \limits _{n\to \infty }f(x_ n) = \lim \limits _{n\to \infty }f(y_ n)$. По определению предела по Гейне $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) \in \mathbb {R}$. $\blacksquare$

Задача 3. Пусть $\forall \varepsilon >0\ \exists A \in \mathbb {R}\ \exists \delta >0\colon (0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-A| < \varepsilon )$. Верно ли, что $\exists \lim \limits _{x\to a} f(x)$?