4.7. Замена переменной в пределе

Вопрос. Пусть $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b, f(E) \subset B$ и $\lim \limits _{E\ni x\to b} g(y) = c$. Верно ли, что $\lim \limits _{E\ni x\to a} (g \circ f)(x) = c$?

Ответ. Не верно. Пусть $g\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$,
$g(y) = \begin{cases} 0, y\not=b,\\1, y=b.\end{cases}$

Тогда $\lim \limits _{y\to b} g(y) = 0$.
Пусть $f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, f(x) \equiv b$. Тогда $\lim \limits _{x\to a} f(x) = b$, $(g\circ f)(x) = g(f(x)) \equiv 1$ и, следовательно,
$0 = \lim \limits _{y\to b} g(y) \not= \lim \limits _{x\to a} g(f(x))$.

Теорема 4.10 (о замене переменной под знаком предела). Пусть $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b$, $\exists \Delta > 0\ \forall x \in B_\Delta '(a)\cap E\colon f(x) \not=b$, пусть $f(E) \subset B, \lim \limits _{E\ni y\to b} g(y) = c$ ($a, b, c\in \overline{\mathbb {R}}$).

Тогда $\lim \limits _{E\ni x\to a} (g \circ f)(x) = c = \lim \limits _{E\ni y\to b} g(y)$.

$\blacktriangle$ Пусть $x_ n \in E \backslash \{ a\} , x_ n\to a$, тогда $\exists n_0\ \forall n > n_0\colon x_ n \in B_\Delta '(a)\cap E \Rightarrow f(x_ n) \not= b$.

Т.к. $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b$, то по определению предела по Гейне $f(x_ n) \to b$ и, следовательно, $g(f(x_ n))\to c$.

Таким образом, $\forall \{ x_ n\} , x_ n \in E\backslash \{ a\} \ (x_ n\to a \Rightarrow (g\circ f)(x_ n) \to c)$, т.е. $\lim \limits _{E\ni x\to a} (g\circ f)(x) = c$. $\blacksquare$