4.7. Замена переменной в пределе
Вопрос. Пусть lim и \lim \limits _{E\ni x\to b} g(y) = c. Верно ли, что \lim \limits _{E\ni x\to a} (g \circ f)(x) = c?
Ответ. Не верно. Пусть g\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R},
g(y) = \begin{cases} 0, y\not=b,\\1, y=b.\end{cases}
Тогда \lim \limits _{y\to b} g(y) = 0.
Пусть f\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, f(x) \equiv b. Тогда \lim \limits _{x\to a} f(x) = b, (g\circ f)(x) = g(f(x)) \equiv 1 и, следовательно,
0 = \lim \limits _{y\to b} g(y) \not= \lim \limits _{x\to a} g(f(x)).
Теорема 4.10 (о замене переменной под знаком предела). Пусть \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b, \exists \Delta > 0\ \forall x \in B_\Delta '(a)\cap E\colon f(x) \not=b, пусть f(E) \subset B, \lim \limits _{E\ni y\to b} g(y) = c (a, b, c\in \overline{\mathbb {R}}).
Тогда \lim \limits _{E\ni x\to a} (g \circ f)(x) = c = \lim \limits _{E\ni y\to b} g(y).
\blacktriangle Пусть x_ n \in E \backslash \{ a\} , x_ n\to a, тогда \exists n_0\ \forall n > n_0\colon x_ n \in B_\Delta '(a)\cap E \Rightarrow f(x_ n) \not= b.
Т.к. \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b, то по определению предела по Гейне f(x_ n) \to b и, следовательно, g(f(x_ n))\to c.
Таким образом, \forall \{ x_ n\} , x_ n \in E\backslash \{ a\} \ (x_ n\to a \Rightarrow (g\circ f)(x_ n) \to c), т.е. \lim \limits _{E\ni x\to a} (g\circ f)(x) = c. \blacksquare