4.9. Свойства функций, непрерывных в точке

Теорема 4.12 (о непрерывности суммы, произведения, частного).
Если функции $f\colon E\to \mathbb {R}$ и $g\colon E\to \mathbb {R}$ непрерывны в точке $a$, то в точке $a$ непрерывны $f\pm g, f\cdot g, \frac{f}g\ (\mbox{при }g(a)\not=0)$.

$\blacktriangle $ Если $a$ не является предельной точкой множества $E$, то в этой точке непрерывна любая функция, которая в ней определена и, значит, теорема в этом случае верна.

Если $a$ — предельная точка множества $E$, то утверждение эквивалентно утверждению

$\lim (f\pm g) = f(a) \pm g(a), \lim (f\cdot g) = f(a)g(a), \lim \frac{f}{g} = \frac{f(a)}{g(a)}$, что вытекает из теоремы о пределе суммы, произведения и частного и определения непрерывности $f$ и $g$ в точке $a$. $\blacksquare $

Пример. Пусть $P_ n\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$, где $P_ n(x) = a_ nx^ n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0, a_ i \in \mathbb {R}, a_ n\not=0$.

Докажем, что функция $P_ n$ непрерывна в любой точке $a \in \mathbb {R}$.

$\blacktriangle $ Рассмотрим функции $f, g\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$, где $f(x) = c, g(x) = x$. Тогда

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta =1\ \forall x \in \mathbb {R}\ (|x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| = |c - c| = 0 < \varepsilon ) \Rightarrow f$ — непрерывна в точке $a$.

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta =\varepsilon \ \forall x \in \mathbb {R}\ (|x-a| < \delta \Rightarrow |g(x) - g(a)| = |x - a| < \delta = \varepsilon ) \Rightarrow g$ — непрерывна в точке $a$.

По Т4.12 $\forall m\in \mathbb {N}\cup \{ 0\} $ функция $h_ m\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}$, где $h_ m(x) = x^ m$, — непрерывна в точке $a$. Тогда

$P_ n = a_ nh_ n + a_{n-1} h_{n-1} + \ldots a_0 + h_0$ — непрерывна в точке $a$. $\blacksquare $

Теорема 4.13. Если $f\colon A\to \mathbb {R}$ непрерывна в точке $a$, $g\colon B\to \mathbb {R}$ непрерывна в точке $b$, $b = f(a), f(A) \subset B$, то композиция $g\circ f\colon A\to \mathbb {R}$ непрерывна в точке $a$.

$\blacktriangle $ Возьмём любую последовательность точек $x_ n \in A, x_ n\to a$. Тогда $f(x_ n) \in B$ и

$f(x_ n)\to f(a) = b$. Следовательно, $g(f(x_ n)) \to g(b) = g(f(a)) \Rightarrow g\circ f$ непрерывна в точке $a$. $\blacksquare $

Следствие (предельный переход под знаком непрерывной функции).

Если $g\colon B\to \mathbb {R}$ непрерывна в точке $b$, $\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b, f(E) \subset B$, то

$$\lim \limits _{E\ni x\to a} g\circ f(x) = g(b) = g(\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x))\ (a\in \mathbb {R}).$$

$\blacktriangle $ Доопределим (переопределим) функцию $f$, положив $f(a) = b$, тогда утверждение вытекает из Т4.13. $\blacksquare $