4.9. Свойства функций, непрерывных в точке
Теорема 4.12 (о непрерывности суммы, произведения, частного).
Если функции f:E→R и g:E→R непрерывны в точке a, то в точке a непрерывны f±g,f⋅g,fg (при g(a)≠0).
▴ Если a не является предельной точкой множества E, то в этой точке непрерывна любая функция, которая в ней определена и, значит, теорема в этом случае верна.
Если a — предельная точка множества E, то утверждение эквивалентно утверждению
lim, что вытекает из теоремы о пределе суммы, произведения и частного и определения непрерывности f и g в точке a. \blacksquare
Пример. Пусть P_ n\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, где P_ n(x) = a_ nx^ n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_0, a_ i \in \mathbb {R}, a_ n\not=0.
Докажем, что функция P_ n непрерывна в любой точке a \in \mathbb {R}.
\blacktriangle Рассмотрим функции f, g\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, где f(x) = c, g(x) = x. Тогда
\forall \varepsilon >0\ \exists \delta =1\ \forall x \in \mathbb {R}\ (|x-a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| = |c - c| = 0 < \varepsilon ) \Rightarrow f — непрерывна в точке a.
\forall \varepsilon >0\ \exists \delta =\varepsilon \ \forall x \in \mathbb {R}\ (|x-a| < \delta \Rightarrow |g(x) - g(a)| = |x - a| < \delta = \varepsilon ) \Rightarrow g — непрерывна в точке a.
По Т4.12 \forall m\in \mathbb {N}\cup \{ 0\} функция h_ m\colon \mathbb {R}\to \mathbb {R}, где h_ m(x) = x^ m, — непрерывна в точке a. Тогда
P_ n = a_ nh_ n + a_{n-1} h_{n-1} + \ldots a_0 + h_0 — непрерывна в точке a. \blacksquare
Теорема 4.13. Если f\colon A\to \mathbb {R} непрерывна в точке a, g\colon B\to \mathbb {R} непрерывна в точке b, b = f(a), f(A) \subset B, то композиция g\circ f\colon A\to \mathbb {R} непрерывна в точке a.
\blacktriangle Возьмём любую последовательность точек x_ n \in A, x_ n\to a. Тогда f(x_ n) \in B и
f(x_ n)\to f(a) = b. Следовательно, g(f(x_ n)) \to g(b) = g(f(a)) \Rightarrow g\circ f непрерывна в точке a. \blacksquare
Следствие (предельный переход под знаком непрерывной функции).
Если g\colon B\to \mathbb {R} непрерывна в точке b, \lim \limits _{E\ni x\to a} f(x) = b, f(E) \subset B, то
\lim \limits _{E\ni x\to a} g\circ f(x) = g(b) = g(\lim \limits _{E\ni x\to a} f(x))\ (a\in \mathbb {R}).
\blacktriangle Доопределим (переопределим) функцию f, положив f(a) = b, тогда утверждение вытекает из Т4.13. \blacksquare