4.11. Свойства функций, непрерывных на промежутках

Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях

Определение 4.24. Функция $f\colon [a, b]\to \mathbb {R}$ непрерывна на $[a, b]$, если $f$ непрерывна в каждой точке $[a, b]$. Обозначение: $C[a, b]$ — множество непрерывных функций на $[a, b]$

Теорема 4.15 (Больцано – Коши). Если $f\in C[a, b], f(a)\cdot f(b)<0$, то $\exists c \in [a, b]\colon f(c) = 0$.

$\blacktriangle $ Пусть $[a_1, b_1] = [a, b]$. Если $f(\frac{a_1+b_1}2) = 0$, то положим $c=\frac{a_1+b_1}2$, иначе

$[a_2, b_2] = \begin{cases} [a_1, \frac{a_1+b_1}2] \mbox{, если } f(a_1)f(\frac{a_1+b_1}2) < 0, \\ [\frac{a_1+b_1}2, b_1] \mbox{, если } f(\frac{a_1+b_1}2)f(b_1) < 0, \end{cases}$

Т.к. $[f(a_1)f(\frac{a_1+b_1}2)][f(\frac{a_1+b_1}2)f(b_1)] = f(a_1)f(b_1)f^2(\frac{a+b}2) < 0$, то отрезок $[a_2, b_2]$ определен однозначно.

Пусть уже построен $[a_ n, b_ n], f(a_ n)f(b_ n) < 0$. Если $f(\frac{a_ n+b_ n}2) = 0$, то $c =\frac{a_ n+b_ n}2$, иначе

$[a_{n+1}, b_{n+1}] = \begin{cases} [a_ n, \frac{a_ n+b_ n}2] \mbox{, если } f(a_ n)f(\frac{a_ n+b_ n}2) < 0, \\ [\frac{a_n+b_n}2, b_n] \mbox{, если } f(\frac{a_ n+b_ n}2)f(b_ n) < 0, \end{cases}$

Т.к. $[f(a_ n)f(\frac{a_ n+b_ n}2)][f(\frac{a_ n+b_ n}2)f(b_ n)] = f(a_{n}) f^2(\frac{a_{n}+b_{n}}2) f(b_{n}) < 0 \Rightarrow \ [a_{n+1}, b_{n+1}]$ определен однозначно.

Если за конечное число шагов точка $c$ не найдена, то будет построена последовательность вложенных отрезков $\{ [a_ n, b_ n]\} ^\infty _{n=1}$. Т.к. $b_ n-a_ n = \frac{b-a}{2^{n-1}} \to 0 \Rightarrow \{ [a_ n, b_ n]\} ^\infty _{n=1}$ — стягивающаяся последовательность. По теореме Кантора о вложенных отрезках существует общая точка у этих отрезков: $c \in \bigcap \limits _{n=1}^\infty [a_ n, b_ n]$.

Т.к. $|a_ n-c| \leqslant b_ n - a_ n, \quad |b_ n - c| \leqslant b_ n - a_ n \Rightarrow a_ n\to c, b_ n\to c$.

В силу непрерывности функции $f$ в точке $c$ имеем $f(a_ n) \to f(c), f(b_ n) \to f(c)$. Перейдем в неравенстве $f(a_ n)f(b_ n) < 0$ к пределу, получим $f^2(c) \leqslant 0 \Rightarrow f(c) = 0$, т.е. точка $c$ — искомая. $\blacksquare $

Задача 4. Если $f \in C[a, b], f(a) < 0, f(b) > 0, c = \sup \{ x \in [a, b] \colon f(x) < 0\} $, то $f(c) = 0$.

Теорема 4.16 (Больцано – Коши). Если $f \in C[a, b], f(a) = A, f(b) = B$, то для любого $C$ между $A$ и $B$ найдется $c \in [a, b]\colon f(c) = C$.

$\blacktriangle $ Пусть $A = B$, тогда положим $c = a$.

Пусть $A \not= B$, тогда $\varphi \colon [a, b] \to \mathbb {R}, \varphi (x) = f(x) - C$, удовлетворяет условию предыдущей теоремы $\Rightarrow $ $\exists c\in [a, b]\colon \varphi (c) = f(c) - C = 0$. $\blacksquare $

Теоремы Вейерштрасса

Теорема 4.17 (Вейерштрасса об ограниченности). Если $f \in C[a, b]$, то она ограничена на $[a, b]$ $(\exists M > 0\ \forall x \in [a, b]\colon |f(x)| < M)$.

$\blacktriangle $ Пусть $f$ непрерывна и неограниченна на отрезке $[a, b]$. Тогда $\forall n \in \mathbb {N}\ \exists x_ n\in [a, b]\colon |f(x_ n)| > n$.

По Теореме Больцано – Вейерштрасса выделим из $\{ x_ n\} $ сходящуюся подпоследовательность $\{ x_{n_ k}\} , x_{n_ k} \to x_0$. Т.к. $\forall k \in \mathbb {N}\colon a\leqslant x_{n_ k} \leqslant b$, то, переходя в этом неравенстве к пределу при $k\to \infty $, получим $a\leqslant x_0\leqslant b$, то есть $x_0 \in [a, b]$.

В силу непрерывности функции $f$ в точке $x_0$ $f(x_{n_ k}) \to f(x_0)$. Но т.к. $|f(x_{n_ k})| > n_ k \geqslant k$, то $\{ f(x_{n_ k})\} $ неограничена, что противоречит Т3.3 об ограниченности. $\blacksquare $

Замечание. На интервале соответствующее утверждение неверно, например $f\colon (0, 1) \to \mathbb {R}$, $f(x) =\frac1x$.

Теорема 4.18 (Вейерштрасса о точных гранях). Если $f\in C[a, b]$, то $\exists x_ s, x_ i \in [a, b]\colon $ $f(x_ s) = \sup \limits _{[a, b]} f, f(x_ i) = \inf \limits _{[a, b]} f$.

$\blacktriangle $ По Т17 $f$ ограничена на $[a, b] \Rightarrow \exists M =\sup \limits _{[a, b]} f \in \mathbb {R}$ и $m =\inf \limits _{[a, b]} f \in \mathbb {R}$. По определению точной верхней грани, $\forall n \in \mathbb {N}\ \exists x_ n \in [a, b]\colon f(x_ n) > M - \frac1n$.

По Теореме Больцано-Вейерштрасса выделим из $\{ x_ n\} $ сходящуюся подпоследовательность $\{ x_{n_ k}\} $, $x_{n_ k} \to x_ s \in [a, b]$. В силу непрерывности $f$ в точке $x_ s$ имеем $f(x_{n_ k}) \to f(x_ s)$.

Переходя к пределу при $k\to \infty $ в неравенстве $M\geqslant f(x_{n_ k}) > M - \frac1{n_ k}$, получим $f(x_ s) = M$.

Точка $x_ i$ находится аналогично. $\blacksquare $