Processing math: 27%
Now you are in the subtree of Математический анализ project. 

4.11. Свойства функций, непрерывных на промежутках

Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях

Определение 4.24. Функция f:[a,b]R непрерывна на [a,b], если f непрерывна в каждой точке [a,b]. Обозначение: C[a,b] — множество непрерывных функций на [a,b]

Теорема 4.15 (Больцано – Коши). Если fC[a,b],f(a)f(b)<0, то c[a,b]:f(c)=0.

 Пусть [a1,b1]=[a,b]. Если f(a1+b12)=0, то положим c=a1+b12, иначе

[a2,b2]={[a1,a1+b12], если f(a1)f(a1+b12)<0,[a1+b12,b1], если f(a1+b12)f(b1)<0,

Т.к. [f(a1)f(a1+b12)][f(a1+b12)f(b1)]=f(a1)f(b1)f2(a+b2)<0, то отрезок [a2,b2] определен однозначно.

Пусть уже построен [an,bn],f(an)f(bn)<0. Если f(an+bn2)=0, то c=an+bn2, иначе

[an+1,bn+1]={[an,an+bn2], если f(an)f(an+bn2)<0,[an+bn2,bn], если f(an+bn2)f(bn)<0,

Т.к. [f(an)f(an+bn2)][f(an+bn2)f(bn)]=f(an)f2(an+bn2)f(bn)<0 [an+1,bn+1] определен однозначно.

Если за конечное число шагов точка c не найдена, то будет построена последовательность вложенных отрезков {[an,bn]}n=1. Т.к. bnan=ba2n10{[an,bn]}n=1 — стягивающаяся последовательность. По теореме Кантора о вложенных отрезках существует общая точка у этих отрезков: cn=1[an,bn].

Т.к. |anc|.

В силу непрерывности функции f в точке c имеем f(a_ n) \to f(c), f(b_ n) \to f(c). Перейдем в неравенстве f(a_ n)f(b_ n) < 0 к пределу, получим f^2(c) \leqslant 0 \Rightarrow f(c) = 0, т.е. точка c — искомая. \blacksquare

Задача 4. Если f \in C[a, b], f(a) < 0, f(b) > 0, c = \sup \{ x \in [a, b] \colon f(x) < 0\} , то f(c) = 0.

Теорема 4.16 (Больцано – Коши). Если f \in C[a, b], f(a) = A, f(b) = B, то для любого C между A и B найдется c \in [a, b]\colon f(c) = C.

\blacktriangle  Пусть A = B, тогда положим c = a.

Пусть A \not= B, тогда \varphi \colon [a, b] \to \mathbb {R}, \varphi (x) = f(x) - C, удовлетворяет условию предыдущей теоремы \Rightarrow \exists c\in [a, b]\colon \varphi (c) = f(c) - C = 0. \blacksquare

Теоремы Вейерштрасса

Теорема 4.17 (Вейерштрасса об ограниченности). Если f \in C[a, b], то она ограничена на [a, b] (\exists M > 0\ \forall x \in [a, b]\colon |f(x)| < M).

\blacktriangle  Пусть f непрерывна и неограниченна на отрезке [a, b]. Тогда \forall n \in \mathbb {N}\ \exists x_ n\in [a, b]\colon |f(x_ n)| > n.

По Теореме Больцано – Вейерштрасса выделим из \{ x_ n\} сходящуюся подпоследовательность \{ x_{n_ k}\} , x_{n_ k} \to x_0. Т.к. \forall k \in \mathbb {N}\colon a\leqslant x_{n_ k} \leqslant b, то, переходя в этом неравенстве к пределу при k\to \infty , получим a\leqslant x_0\leqslant b, то есть x_0 \in [a, b].

В силу непрерывности функции f в точке x_0 f(x_{n_ k}) \to f(x_0). Но т.к. |f(x_{n_ k})| > n_ k \geqslant k, то \{ f(x_{n_ k})\} неограничена, что противоречит Т3.3 об ограниченности. \blacksquare

Замечание. На интервале соответствующее утверждение неверно, например f\colon (0, 1) \to \mathbb {R}, f(x) =\frac1x.

Теорема 4.18 (Вейерштрасса о точных гранях). Если f\in C[a, b], то \exists x_ s, x_ i \in [a, b]\colon f(x_ s) = \sup \limits _{[a, b]} f, f(x_ i) = \inf \limits _{[a, b]} f.

\blacktriangle  По Т17 f ограничена на [a, b] \Rightarrow \exists M =\sup \limits _{[a, b]} f \in \mathbb {R} и m =\inf \limits _{[a, b]} f \in \mathbb {R}. По определению точной верхней грани, \forall n \in \mathbb {N}\ \exists x_ n \in [a, b]\colon f(x_ n) > M - \frac1n.

По Теореме Больцано-Вейерштрасса выделим из \{ x_ n\} сходящуюся подпоследовательность \{ x_{n_ k}\} , x_{n_ k} \to x_ s \in [a, b]. В силу непрерывности f в точке x_ s имеем f(x_{n_ k}) \to f(x_ s).

Переходя к пределу при k\to \infty в неравенстве M\geqslant f(x_{n_ k}) > M - \frac1{n_ k}, получим f(x_ s) = M.

Точка x_ i находится аналогично. \blacksquare