4.5. Односторонний предел функции

Пусть $f\colon E \to \mathbb {R}, a \in \mathbb {R}$.

Определение 4.14. Пусть $f$ определена на $(a, \alpha )$, т.е. $(a, \alpha ) \subset E$, тогда пределом функции $f$ справа называют предел сужения $f|_{(a, \alpha )}$ в точке $a$. Обозначение: $f(a+0)$ или $\lim \limits _{x\to a+0} f(x)$.

Определение 4.15. Пусть $f$ определена на $(\beta , a)$, т.е. $(\beta , a) \subset E$, тогда пределом функции $f$ слева называют предел функции $f|_{(\beta , a)}$ в точке $a$. Обозначение: $f(a-0)$ или $\lim \limits _{x\to a-0} f(x)$

Определение 4.16. Пределы функции слева и справа называют односторонними.

Замечание. Корректность определения односторонних пределов (независимость от выбора точек $\alpha $ и $\beta $) следует из теоремы о пределе по подмножеству.

Лемма 4.2 (об односторонних пределах). Пусть функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $a$. Тогда
$\lim \limits _{x\to a} f(x) = b \Leftrightarrow f(a-0) = b = f(a+0)$.

$\blacktriangle $ ($\Rightarrow $) Пусть $\lim \limits _{x\to a} f(x) = b$, тогда $a$ — внутренняя точка $E\cup \{ a\} $, значит, $\exists B_\delta '(a) \subset E$, по Т4.2 о пределу по подмножеству: $f(a+0) = \lim \limits _{(a, a+\delta )\ni x\to a} f|_{(a,a+\delta )} (x) = b$ и $f(a-0) = \lim \limits _{(a-\delta , a)\ni x\to a} f|_{(a-\delta ,a)} (x)=b$.

($\Leftarrow $) Пусть $f(a-0) = b = f(a+0)$, тогда $\exists \Delta _1, \Delta _2 > 0\colon f$ — определена на $(a-\Delta _1, a)\cup (a, a+\Delta _2)$,

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta _1>0\ \forall x \in B_{\delta _1}'(a)\cap (a-\Delta _1, a)\colon f(x) \in B_\varepsilon (b)$,

$\forall \varepsilon >0\ \exists \delta _2>0\ \forall x \in B_{\delta _2}'(a)\cap (a, a+\Delta _2)\colon f(x) \in B_\varepsilon (b)$.

Положим $\delta = \min \{ \Delta _1, \Delta _2, \delta _1, \delta _2\} $, тогда: $\forall x \in B_\delta '(a)\colon f(x) \in B_\varepsilon (b)$, и, значит, $\lim \limits _{x\to a} f(x) = b$. $\blacksquare $