Processing math: 100%
Page preview panel
ON OFF

This is the graph of pages.

All pages ("nodes") in Knowen belong to a directed acyclic graph: more general nodes are to the left (upstream), and more specific to the right (downstream).

Hover over a node to see the node preview; click to select a specific node; mouse scroll to zoom; click and drag to move.

Now you are in the subtree of Математический анализ project. 

4.5. Односторонний предел функции

Пусть f:ER,aR.

Определение 4.14. Пусть f определена на (a,α), т.е. (a,α)E, тогда пределом функции f справа называют предел сужения f|(a,α) в точке a. Обозначение: f(a+0) или limxa+0f(x).

Определение 4.15. Пусть f определена на (β,a), т.е. (β,a)E, тогда пределом функции f слева называют предел функции f|(β,a) в точке a. Обозначение: f(a0) или limxa0f(x)

Определение 4.16. Пределы функции слева и справа называют односторонними.

Замечание. Корректность определения односторонних пределов (независимость от выбора точек α и β) следует из теоремы о пределе по подмножеству.

Лемма 4.2 (об односторонних пределах). Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки a. Тогда
limxaf(x)=bf(a0)=b=f(a+0).

 () Пусть limxaf(x)=b, тогда a — внутренняя точка E{a}, значит, Bδ(a)E, по Т4.2 о пределу по подмножеству: f(a+0)=lim(a,a+δ)xaf|(a,a+δ)(x)=b и f(a0)=lim(aδ,a)xaf|(aδ,a)(x)=b.

() Пусть f(a0)=b=f(a+0), тогда Δ1,Δ2>0:f — определена на (aΔ1,a)(a,a+Δ2),

ε>0 δ1>0 xBδ1(a)(aΔ1,a):f(x)Bε(b),

ε>0 δ2>0 xBδ2(a)(a,a+Δ2):f(x)Bε(b).

Положим δ=min{Δ1,Δ2,δ1,δ2}, тогда: xBδ(a):f(x)Bε(b), и, значит, limxaf(x)=b.