4.5. Односторонний предел функции
Пусть f:E→R,a∈R.
Определение 4.14. Пусть f определена на (a,α), т.е. (a,α)⊂E, тогда пределом функции f справа называют предел сужения f|(a,α) в точке a. Обозначение: f(a+0) или lim.
Определение 4.15. Пусть f определена на (\beta , a), т.е. (\beta , a) \subset E, тогда пределом функции f слева называют предел функции f|_{(\beta , a)} в точке a. Обозначение: f(a-0) или \lim \limits _{x\to a-0} f(x)
Определение 4.16. Пределы функции слева и справа называют односторонними.
Замечание. Корректность определения односторонних пределов (независимость от выбора точек \alpha и \beta ) следует из теоремы о пределе по подмножеству.
Лемма 4.2 (об односторонних пределах). Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки a. Тогда
\lim \limits _{x\to a} f(x) = b \Leftrightarrow f(a-0) = b = f(a+0).
\blacktriangle (\Rightarrow ) Пусть \lim \limits _{x\to a} f(x) = b, тогда a — внутренняя точка E\cup \{ a\} , значит, \exists B_\delta '(a) \subset E, по Т4.2 о пределу по подмножеству: f(a+0) = \lim \limits _{(a, a+\delta )\ni x\to a} f|_{(a,a+\delta )} (x) = b и f(a-0) = \lim \limits _{(a-\delta , a)\ni x\to a} f|_{(a-\delta ,a)} (x)=b.
(\Leftarrow ) Пусть f(a-0) = b = f(a+0), тогда \exists \Delta _1, \Delta _2 > 0\colon f — определена на (a-\Delta _1, a)\cup (a, a+\Delta _2),
\forall \varepsilon >0\ \exists \delta _1>0\ \forall x \in B_{\delta _1}'(a)\cap (a-\Delta _1, a)\colon f(x) \in B_\varepsilon (b),
\forall \varepsilon >0\ \exists \delta _2>0\ \forall x \in B_{\delta _2}'(a)\cap (a, a+\Delta _2)\colon f(x) \in B_\varepsilon (b).
Положим \delta = \min \{ \Delta _1, \Delta _2, \delta _1, \delta _2\} , тогда: \forall x \in B_\delta '(a)\colon f(x) \in B_\varepsilon (b), и, значит, \lim \limits _{x\to a} f(x) = b. \blacksquare