4.5. Односторонний предел функции
Пусть f:E→R,a∈R.
Определение 4.14. Пусть f определена на (a,α), т.е. (a,α)⊂E, тогда пределом функции f справа называют предел сужения f|(a,α) в точке a. Обозначение: f(a+0) или limx→a+0f(x).
Определение 4.15. Пусть f определена на (β,a), т.е. (β,a)⊂E, тогда пределом функции f слева называют предел функции f|(β,a) в точке a. Обозначение: f(a−0) или limx→a−0f(x)
Определение 4.16. Пределы функции слева и справа называют односторонними.
Замечание. Корректность определения односторонних пределов (независимость от выбора точек α и β) следует из теоремы о пределе по подмножеству.
Лемма 4.2 (об односторонних пределах). Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки a. Тогда
limx→af(x)=b⇔f(a−0)=b=f(a+0).
▴ (⇒) Пусть limx→af(x)=b, тогда a — внутренняя точка E∪{a}, значит, ∃B′δ(a)⊂E, по Т4.2 о пределу по подмножеству: f(a+0)=lim(a,a+δ)∋x→af|(a,a+δ)(x)=b и f(a−0)=lim(a−δ,a)∋x→af|(a−δ,a)(x)=b.
(⇐) Пусть f(a−0)=b=f(a+0), тогда ∃Δ1,Δ2>0:f — определена на (a−Δ1,a)∪(a,a+Δ2),
∀ε>0 ∃δ1>0 ∀x∈B′δ1(a)∩(a−Δ1,a):f(x)∈Bε(b),
∀ε>0 ∃δ2>0 ∀x∈B′δ2(a)∩(a,a+Δ2):f(x)∈Bε(b).
Положим δ=min{Δ1,Δ2,δ1,δ2}, тогда: ∀x∈B′δ(a):f(x)∈Bε(b), и, значит, limx→af(x)=b. ◼