Processing math: 18%
Now you are in the subtree of Lecture Notes public knowledge tree. 

2. Основная теорема алгебры для многочленов

Алгебраическая замкнутость C

Определение. F – алгебраически замкнутое, если любой многочлен fF[X] раскладывается на линейные множители.

1) F – алгебраически замкнуто, если неприводимые многочлены – линейные многочлены.

2) F – алгебраически замкнуто, если любой многочлен имеет хотя бы один корень.

f(x)=(xl)h(x)

h(x) тоже имеет корень и, продолжая этот процесс, получаем разложение f на линейные многочлены.

Факт. Для любого поля F существует ¯FF, где ¯F – алгебраически замкнуто.

C=R(i)R     C¯QQ, где ¯Q – поле алгебраических чисел.

Теорема (основная теорема алгебры). C алгебраически замкнуто.

f(z)=a0zn+...+an1z+an (n имеет хотя бы один корень.

Рассмотрим случай, когда a_n \neq 0 (a_n=0 \Rightarrow корень z=0)

Компакт \{z:~|z| \leqslant r\}

|f(z)| достигает минимума, и этот минимум равен 0.

Лемма 1. Существует r \in \mathbb{R}, такое что |f(z)| > |f(0)| для всех z \in \mathbb{C}, таких что |z| > r.

\blacktriangle~ |f(z)|=|z|^n|a_0+g(z^{-1})|, где g(u)=a_1u+...+a_nu^n

g непрерывна в точке 0 \Rightarrow \exists \delta>0:~|g(u)| \leqslant \frac{|a_0|}{2},~|u| < \delta

|f(z)| \geqslant |z|^n(|a_0|-|g(z^{-1})|) \geqslant \frac{1}{2}|a_0| \cdot |z|^n > |a_n|

|z| \geqslant \frac{1}{\delta}

Осталось подобрать такое r, что |a_0|r^n>2|a_n|=2|f(0)| ~\blacksquare

Следствие. Для каждого многочлена f \in \mathbb{C}[Z] существует z_0 \in \mathbb{C}:~|f(z_0)|=\inf\limits_{z \in \mathbb{C}} |f(z)|

\blacktriangle~ |f(z)|>|f(0)|,~~ \forall z:|z|>r

\exists r \in \mathbb{R}. Рассмотрим \{z:|z| \leqslant r\},~|f(z)| достигает своего минимума. \blacksquare

Лемма 2. Пусть k \in \mathbb{N}, h \in \mathbb{C}[z],~h(0) \neq 0.

Тогда для \forall a \in \mathbb{C} \setminus \{ 0 \} существует b \in \mathbb{C}:~|a+b^k h(b)| < |a|

\blacktriangle~ h – непрерывен: \exists \delta>0:~|z|< \delta,~|h(z)-h(0)| < \frac{|h(0)|}{2}

Применим к a+z^kh(z)=a+h(0)z^k+z^k(h(z)-h(0))

|a+z^kh(z)| < |a+h(0)z^k| + \frac{|h(0)|}{2}|z|^k

Выберем b \in \mathbb{C}:~h(0)b^k=-ta,~0 < t < 1

В качестве b:~ \sqrt[k]{- \frac{ta}{h(0)}}

|a+h(0)b^k|=(1-t)|a|

\frac{h(0)b^k}{2} = \frac{t|a|}{2},~|b| < \delta,~ t < |h(0)a^{-1}| \delta^k

z=b:~|a+b^kh(b)| \leqslant (1-t)|a| + \frac{t|a|}{2} = (1 - \frac{t}{2})|a| < |a| ~\blacksquare

Лемма (Д'Аламбера-Аргана). f(z) \in \mathbb{C}[Z] – многочлен положительной степени.

Пусть c \in \mathbb{C},~f(c) \neq 0, тогда \exists c' \in \mathbb{C}: |f(c')| < |f(c)|.

\blacktriangle~ f(z+c)=f(c)+b_kz^k+b_{k+1}z^{k+1}+...+b_nz^n,~b_k \neq 0, где b_k – первый ненулевой коэффициент.

f(z+c)=f(c)+z^kh(z),~h(z)=b_k+b_{k+1}z+...+b_nz^{n-k}

Применим лемму 2:

a=f(c) \neq 0 \overset{Л2}{\Rightarrow} \exists b:при c'=b+c выполнено неравенство:

|f(c')|=|f(b+c)|=|f(c)+b^kh(b)| < |f(c)| ~\blacksquare

Доказательство теоремы

\blacktriangle Из следствия из Л1: \exists z_0:~|f(z_0)| = \inf\limits_{z \in \mathbb{C}} |f(z)|. Предположим, что:

|f(z_0)| \neq 0 \Rightarrow (по лемме Д'Аламбера-Аргана) \exists z':
|f(z')| < |f(z_0)| \Rightarrow противоречие \Rightarrow |f(z_0)|=0 ~\blacksquare

Лемма (о модуле старшего члена).

f(z) \in \mathbb{C}[z]~~~~~a_0,a_1,...,a_n,~n \geqslant 1

A = \max(|a_0|,...,|a_r|),~r=\frac{A}{|a_0|}+1

При |z| > r,~|a_0z^n| > |a_1z^{n+1}+...+a_n|

Следствие. Пусть f(x) \in \mathbb{R}[X]. Тогда для всех x \in \mathbb{R}, достаточно больших по модулю, знак f(x) совпадает со знаком a_nx^n (старший член).

Следствие. Любой многочлен f(x) \in \mathbb{R}[X] нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.