12. Билинейные функции. Координатная запись билинейной функции. Матрица билинейной функции и её изменение при замене базиса. Симметричные билинейные функции.

$\DeclareMathOperator{\rang}{rang} \DeclareMathOperator{\char}{char}$

Билинейные формы

Определение. Пусть $V,~U$ – векторные пространства над полем $\mathbb{F}$. Билинейной формой называется отображение $f:V \times V \Rightarrow U$, линейное по каждому из аргументов:

$$f(\alpha u+\beta v, w)=\alpha f(u,w)+\beta f(v,w)$$

$$\begin{equation} f(w, \alpha u+\beta v)=\alpha f(w,u)+\beta f(w,v) \end{equation}$$

для всех $u,v,w \in V,~\alpha,\beta \in \mathbb{F}$

Координатная запись билинейной функции

Выберем в $V$ базис $(e_1,...,e_n)$ и выразим $x,~y \in V$ через их координаты:

$$x=x_1e_1+...x_ne_n,~~y=y_1e_1+...+y_ne_n$$

Используем определяющие свойства (1) билинейной формы для записи $f(x,y)$ через $n^2$ скаляров $f(e_i,e_j)$:

$$\begin{equation} f(x,y)=f(\sum\limits_i x_ie_i,\sum\limits_j y_je_j)=\sum\limits_i x_if(e_i,\sum\limits_j y_je_j)=\sum\limits_i x_i \sum\limits_j f(e_i,e_j)=\sum\limits_{i,j} f_{ij}x_iy_i, \end{equation}$$

где $f_{ij}=f(e_i,e_j)$

Матрица билинейной функции

Определение. Матрица $F=(f_{ij})$ называется матрицей билинейной формы $f$ на $V$ в базисе $(e_1,...,e_n)$.

Пусть $X^T=(x_1,...,x_n)$ – транспонированный координатный столбец $x$, $Y=(y_1,...,y_n)^T$ – координатный столбец $y$, тогда
$$\begin{equation} f(x,y)=X^TFY \end{equation}$$

Обратно, имея квадратную матрицу $F=(f_{ij})$, при помощи (2) или (3) определим на $V$ билинейную форму $f$, полагая $f(e_i,e_j)=f_{ij}$. Таким образом, при заданном базисе $(e_1,...,e_n)$ векторного пространства $V$ над $\mathbb{F}$ имеется биекция между квадратными $n \times n$ матрицами над $\mathbb{F}$ и билинейными формами на $V~(dim_\mathbb{F} V=n)$.

Изменение матрицы при замене базиса

Теорема. Матрицы $F$ и $F'$ билинейной формы $f$ на $V$ в базисах $(e_i)$ и $(e'_i)$ связаны соотношением

$$F'=A^TFA,$$

где $A$ – матрица перехода от $(e_i)$ к $(e'_i)$.

$\blacktriangle$ Пусть наряду с $(e_1,...,e_n)$ в $V$ задан еще один базис $(e'_1,...,e'_n)$ вместе с матрицей перехода $A=(a_{ij})$:

$$e'_j=\sum\limits_{i=1}^n a_{ij}e_i,~j=1,...n$$

Если $x=x_1e_1+...+x_ne_n=x=x'_1e'_1+...+x'_ne'_n$, то координатные столбцы $X$ и $X'$ связаны соотношением $X=AX'$. Пусть теперь $F=(f_{ij})$ – матрица билинейной формы $f$ в базисе $(e_i)$, а $F'=(f'_{ij})$ – матрица той же формы $f$ в базисе $(e'_i)$, т.е. $f_{ij}=f(e_i,e_j)$ и $f'_{ij}=f(e'_i,e'_j)$. Так как $(AX')^T=X'^TA^T$ и так как $f(x,y)$ не зависит от выбора базиса, то

$$X'^TF'Y' =f(x,y)=X^TFY=(AX')^TF(AY')=X'^TA^TFAY' ~\blacksquare$$

Определение. Рангом билинейной формы $f$ называется ранг ее матрицы.

Следствие. Ранг билинейной формы $f$ – инвариант, не зависящий от выбора базиса.

Определение. $L_f=\{ x ~|~ f(x,v)=0 ~\forall v \in V \}$ – левое ядро билинейной формы $f,~L_f \subset V$.

$\dim L_f$ не зависит от базиса.

Пусть $(e_1,...,e_n)$ – базис в $V$. Ядро – решения уравнений:

$\left \{ \begin{array}{l} f(x,e_1)=0 \\ ... \\ f'(x,e_n)=0 \end{array} \right .$

Если разложить $x$ по базису, то матрица системы совпадает с матрицей билинейной формы, то $\dim L_f+\rang F=n=\dim V$

Симметричные и кососимметричные билинейные формы

Определение. $f$ – симметричная, если $f(x,y)=f(y,x)~\forall x,y \in V$.

Определение. $f$ – кососимметричная, если $f(x,y)=-f(y,x)~\forall x,y \in V$.

Определение. Матрица симметричной формы – симметричная: $F^T=F$.

Определение. Матрица кососимметричной формы – кососимметричная: $F^T=-F$.

При замене базиса ($A$ – матрица перехода):

$$(A^TFA)^T=A^TF^TA=A^TFA$$

Теорема. Если $\char \mathbb{F} \neq 2$, то пространство $L_2(V,\mathbb{F})$ всех билинейных форм является прямой суммой

$$L_2(V,\mathbb{F})=L_2^+(V,\mathbb{F}) \oplus L_2^-(V,\mathbb{F}),$$

где $L_2^+(V,\mathbb{F})$ – пространство симметричных форм, $L_2^-(V,\mathbb{F})$ – пространство кососимметричных форм.

$\blacktriangle$ Пусть $f \in L_2^+(V,\mathbb{F}) \cap L_2^-(V,\mathbb{F})$, тогда $\forall x,y \in V$

$$f(x,y)=f(y,x)=-f(x,y) \Rightarrow 2f(x,y)=0 \Rightarrow f(x,y)=0 ~(\char \mathbb{F} \neq 2) \Rightarrow f \equiv 0 \Rightarrow$$

$\Rightarrow$ сумма $L_2^+$ и $L_2^-$ – прямая.

С другой стороны, соотношение

$$f(x,y)=\frac{1}{2}(f(x,y)+f(y,x))+\frac{1}{2}(f(x,y)-f(y,x))$$

показывает, что всякая билинейная форма $f$ представляется в виде суммы симметричной и кососимметричной форм. $\blacksquare$