4. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения. Характеристический многочлен и его инвариантность. След преобразования

$\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\Im}{Im} \DeclareMathOperator{\Id}{Id} \DeclareMathOperator{\rank}{rank} \DeclareMathOperator{\tr}{tr}$

Проекторы

Определение. Проектор (или оператор проектирования) – оператор $P:V \rightarrow V$, удовлетворяющий условию $P \circ P=P^2=P$.

$V=W_1 \oplus ... \oplus W_n$, тогда $\forall x \in V$ однозначно представляется в виде $x=x_1+...+x_n,~x_i \in W_i$

$P_i: x \mapsto x_i,~i=1,...,n$ – проекторы, $P_i^2=P_i$

$P_1+...+P_n=\Id$ – тождественный оператор.

$P_iP_j=0$, если $i \neq j$

$P_iP_j(x)=P_i(x_j)=0,~x_j=0+...+0+x_j+0+...+0$

$W_i=P_iV=\{x \in V ~|~ P_ix=x \}$

$K_i=\Ker P_i=W_1 \oplus ... \oplus \widehat{W_i} \oplus ... \oplus W_n$ ($\widehat{W_i}$ – означает, что $W_i$ отсутствует).

Теорема. Пусть $P_1,...P_m: V \rightarrow V$ – конечный набор линейных операторов, таких что:

1) $\sum\limits_{1}^m = \Id$

2) $P_iP_j=0,~i \neq j$

3) $P_i^2=P_i$

Тогда $V=W_1 \oplus ... \oplus W_m,~W_i=P_iV$

$\blacktriangle~ x=\Id x=\sum P_ix$

$x=\sum x_i,~x_i \in W_i \Rightarrow V=W_1+...+W_n$

Допустим, сумма не прямая

$x \in W_j \cap (\sum\limits_{i \neq j} W_i),~W_i=\Im P_i$

Существуют $x_1,...x_m~(x_i \in W_i)$ такие что $P_j(x)=x=\sum\limits_{i \neq j} P_i(x_i)$

$P_iP_j(x)=x=P_j(\sum\limits_{i \neq j} P_i)(x_i)=0$ – противоречие с тем, что $x \neq 0$.

$W_j \cap (\sum\limits_{i=j} W_i)=0 \Rightarrow V=W_1 \oplus ... \oplus W_m ~\blacksquare$

Пусть есть проектор $P: \Im P=W,~\Ker P=K$

$P$ – проектор на $W$ вдоль $K$ (соглашение).

$(1-p)^2=1-2p+p^2=1-p$

Выберем базис в $\Im P,~\Ker P$

Вместе они дают базис в $V$.

Матрица проектора $P: \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},~ r=\rank P = \dim \Im P$

Замечание. Проекторы $P_1,...P_m$, удовлетворяющие соотношению $P_iP_j=\delta_{ij}P_j~(\delta$ – символ Кронекера, $\delta_{i,j} = \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{cases})~~~$
составляют орготональную систему проекторов (идемпотентов).

Если выполнено условие $\sum P_r=\Id$, то говорят о полной ортогональной системе.

Инвариантные подпространства

$A: V \rightarrow V$ – линейный оператор.

$x \mapsto Ax,~x \in V$, $A$ переводит подпространство в подпространство.

Определение. Подпространство $U \subset V$ инвариантно относительно $A$, если $AU \subseteq U$.

Пример. 1) $\Ker A,~\Im A,~\{ 0 \},~V$ – инвариантные подпространства.

2) Пусть $V$ – пространство многочленов степени не выше $n$, $D$ – оператор дифференцирования.

$\{ 0 \} \subset V_1 \subset V_2 \subset ... \subset V_{n-1} \subset V_n \subset V$, где $V_i$ – пространство многочленов степени не выше $(i-1)$.

$\\$

Пусть $A: V \rightarrow V$ – оператор, $U \subset V$ – инвариантное подпространство

$V=U \oplus W,~W$ – какое-то подпространство.

Выберем базис в $U,~W \Rightarrow$ базис в $V$.

Матрица оператора $A= \begin{pmatrix} A_1 & A_2 \\ 0 & A_3 \end{pmatrix}, ~A_1$ – ограничение $A$ на $V$.

$U \oplus W=V$

$U,~W$ – инвариантные подпространства относительно $A$.

Матрица $A= \begin{pmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_3 \end{pmatrix}$

Собственные вектора. Характеристический многочлен

Определение. Любой $x \neq 0$ из одномерного инвариантного подпространства называется собственным вектором.

Если $x$ – собственный вектор оператора $A$, то $Ax=\lambda x,~\lambda \in \mathbb{F}$, где $\lambda$ называется собственным значением.

$Ax=\lambda x \Rightarrow A^kx=\lambda^kx,~f(A)x=f(\lambda)x$

$f(A)=0 \Rightarrow f(\lambda)=0$

Определение. $V^{\lambda}=\{ x \in V ~|~ Ax=\lambda x \}$ – подпространство собственных векторов с собственным значением $\lambda$ (собственное подпространство).

Корректность определения.

$Ax=\lambda x,~Ay=\lambda y$

$A(x+y)=\lambda(x+y)$

$\alpha \in \mathbb{F},~~A(\alpha x)=\alpha Ax=\alpha \cdot \lambda x=\lambda \cdot \alpha x \Rightarrow \alpha x \in V^{\lambda}$

$~$

Пусть $x$ – собственный вектор с собственным значением $\lambda$, т.е. $Ax=\lambda x$

Условие существования собственного вектора: $(A-\lambda E)x=0$ – система имеет нетривиальное решение.

$e_1,...e_n$ – базис в $V$ и $x=x_1e_1+...+x_ne_n$

$(*)~ \det(A-\lambda E)=0$

Собственные значения удовлетворяют $(*)$ и только они.

$x$ находится как решение системы $(A-\lambda E)x=0$.

$\dim V^{\lambda}=n-r$, где $r$ – ранг матрицы $(A-\lambda E)$.

Преобразуем определитель:

$\det(A-\lambda E)=(-1)^n\det(\lambda E - A)=\sum\limits_{\pi} \varepsilon_\pi(\delta_{1,\pi_1}t-a_{1,\pi_1})(\delta_{2,\pi_2}t-a_{2,\pi_2})...(\delta_{n,\pi_n}t-a_{n,\pi_n})$, где $\pi$ – перестановка, $\delta_{i,j}$ – символ Кронекера.

Получим характеристический многочлен:

$\chi_A(\lambda)=\det(\lambda E - A)=t^n+\chi_1t^{n-1}+...+\chi_{n-1}t+\chi_n$

Определение. Следом матрицы называется сумма элементов главной диагонали матрицы, $\tr A = \sum a_{ii}$.

$\chi_1=-\tr A$

Теорема. Характеристические многочлены подобных матриц равны.

$A$ и $A'$ – подобные, если $\exists C: A'=C^{-1}AC$.

$\blacktriangle~ A'=C^{-1}AC$

$\det(A'-\lambda E)=\det(C^{-1}AC-\lambda E)=\det(C^{-1}(A-\lambda E)C)=\det(A-\lambda E) ~\blacksquare$