5. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениям. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Условия диагонализируемости преобразования
Определение. Размерность dimVλ собственного подпространства, ассоциированного с λ0, называется геометрической кратностью собственного значения λ0 оператора A.
Определение. Кратность λ0 как корня характеристического многочлена χA(λ) называется алгебраической кратностью собственного значения λ0 оператора A.
Теорема. Геометрическая кратность λ0⩽ алгебраической кратности \lambda_0.
\blacktriangle~ Геометрическая кратность =dimV^{\lambda}
V^{\lambda} инвариантно относительно A.
Пусть A' – ограничение A на V^{\lambda}. Тогда A=
\begin{pmatrix}
A' & A_1 \\
0 & A_2
\end{pmatrix}
– матрица оператора A.
\det(A-\lambda_0 E)=\det(A'-\lambda_0 E)\det(A_2-\lambda_0 E)
\det(A'-\lambda E)=(\lambda_0 - \lambda)^{\dim V^{\lambda_0}}
\forall x \in V^{\lambda_0} ~A'x=\lambda_0 x,~~A'= \begin{pmatrix} \lambda_0 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_0 \end{pmatrix}
\det(A-\lambda E)=(\lambda_0 - \lambda)^{\dim V^{\lambda_0}} \cdot \det(A_2 - \lambda E) \Rightarrow
\Rightarrow кратность \lambda_0 \geqslant \dim V^{\lambda} = геометрическая кратность. \blacksquare
Критерий диагонализируемости
Определение. Оператор A – диагонализируемый, если существует базис (e_i), в котором матрица оператора имеет диагональный вид.
A= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}
Определение. Спектр оператора A – множество собственных значений оператора A. Обозначение: \Spec A или \Sp(A). Собственные значения учитываются с геометрическими кратностями.
Точка спектра – простая, если ее кратность равна 1.
Спектр – простой, если все точки – простые.
Пример. Над \mathbb{R} спектр может быть пустым множеством, например поворот на угол \alpha:
A= \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}
Лемма. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.
\sum\limits_{\lambda \in \Spec A} V^{\lambda} – прямая, где V^{\lambda}=\{ v ~|~ Av=\lambda v \}
Вообще говоря, \sum V^{\lambda} \neq V.
\blacktriangle Пусть \lambda_1,...,\lambda_m – собственные значения (различные).
V^{\lambda_1},...,V^{\lambda_m} – соответствующие собственные подпространства.
Выберем в каждом V^{\lambda_i} по одному вектору e_i. Докажем, что \{ e_i \}_{i=1}^m – линейно независимы.
Индукция по m. m=1 – очевидно.
Шаг индукции. Предположим, что существует нетривиальная линейная комбинация \alpha_1e_1+...+\alpha_me_m=0, где для определенности \alpha_1 \neq 0.
Применим оператор A,~Ae_i=\lambda_i e_i
\alpha_1\lambda_1e_1+...+\alpha_m\lambda_me_m=0
\alpha_1(\lambda_1-\lambda_m)e_1+...+\alpha_{m-1}(\lambda_{m-1}-\lambda_m)e_{m-1}=0
По предположению индукции \alpha_i(\lambda_m - \lambda_i)=0,~i=1,...,m-1, но
\alpha_1 \neq 0,~\lambda_1 \neq \lambda_m \Rightarrow \alpha_1(\lambda_m - \lambda_1) \neq 0, противоречие, поэтому не существует нетривиальной линейной комбинации \Rightarrow e_1,...e_{m-1} – линейно независимы. \blacksquare
Теорема (критерий диагонализируемости). Пусть A – линейный оператор в конечномерном векторном пространстве над полем \mathbb{F}. Для диагонализируемости A необходимо и достаточно:
1) все корни \chi_A(\lambda) лежат в \mathbb{F}
2) геометрическая кратность любого собственного значения равна алгебраической кратности.
\blacktriangle Докажем, что 1), 2) \Rightarrow диагонализируемость.
Пусть \lambda_1,...,\lambda_m – собственные значения. V^{\lambda_i} – соответствующие собственные подпространства.
\dim V^{\lambda_i}=k_i,~\sum\limits_{i=1}^m k_i=n
\sum V^{\lambda_i} – прямая, V^{\lambda_1} \oplus ... \oplus V^{\lambda_m}=V, т.к \sum \dim V^{\lambda_i}=\dim V
Выбирая базисы в V^{\lambda_i} и объединяя их, получим базис в V \Rightarrow в этом базисе матрица A – диагональная.
Докажем теперь, что диагонализируемость \Rightarrow 1), 2).
Пусть \lambda_1,...\lambda_m – собственные значения A.
l_i=\dim V^{\lambda_i},~\sum V^{\lambda_i} – прямая.
Т.к. оператор A диагонализируем \Rightarrow V^{\lambda_1},...,V^{\lambda_m} порождают V \Rightarrow V=V^{\lambda_1} \oplus ... \oplus V^{\lambda_m} \Rightarrow в базисе, получающемся объединением базисов в V^{\lambda_i}, A записывается:
A= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & \lambda_1 & & & & &\Huge 0 & & & \\ & & & \lambda_2 & & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & & \\ & & & & & \lambda_2 & & & & & \\ & & & & & & \ddots & & & \\ & &\Huge 0 & & & & & \lambda_m & & \\ & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & \lambda_m \\ \end{pmatrix}
\chi_A(\lambda)=(\lambda - \lambda_1)^{l_1}...(\lambda - \lambda_m)^{l_m},~\lambda_1,...,\lambda_m \in \mathbb{F} \Rightarrow l_i – в точности алгебраические кратности \lambda_i. ~\blacksquare