Processing math: 10%
Now you are in the subtree of Lecture Notes public knowledge tree. 

5. Линейная независимость собственных векторов, принадлежащих попарно различным собственным значениям. Алгебраическая и геометрическая кратность собственного значения. Условия диагонализируемости преобразования

Определение. Размерность dimVλ собственного подпространства, ассоциированного с λ0, называется геометрической кратностью собственного значения λ0 оператора A.

Определение. Кратность λ0 как корня характеристического многочлена χA(λ) называется алгебраической кратностью собственного значения λ0 оператора A.

Теорема. Геометрическая кратность λ0 алгебраической кратности \lambda_0.

\blacktriangle~ Геометрическая кратность =dimV^{\lambda}

V^{\lambda} инвариантно относительно A.

Пусть A' – ограничение A на V^{\lambda}. Тогда A= \begin{pmatrix} A' & A_1 \\ 0 & A_2 \end{pmatrix}
– матрица оператора A.

\det(A-\lambda_0 E)=\det(A'-\lambda_0 E)\det(A_2-\lambda_0 E)

\det(A'-\lambda E)=(\lambda_0 - \lambda)^{\dim V^{\lambda_0}}

\forall x \in V^{\lambda_0} ~A'x=\lambda_0 x,~~A'= \begin{pmatrix} \lambda_0 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_0 \end{pmatrix}

\det(A-\lambda E)=(\lambda_0 - \lambda)^{\dim V^{\lambda_0}} \cdot \det(A_2 - \lambda E) \Rightarrow

\Rightarrow кратность \lambda_0 \geqslant \dim V^{\lambda} = геометрическая кратность. \blacksquare

Критерий диагонализируемости

Определение. Оператор A – диагонализируемый, если существует базис (e_i), в котором матрица оператора имеет диагональный вид.

A= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{pmatrix}

Определение. Спектр оператора A – множество собственных значений оператора A. Обозначение: \Spec A или \Sp(A). Собственные значения учитываются с геометрическими кратностями.

Точка спектра – простая, если ее кратность равна 1.

Спектр – простой, если все точки – простые.

Пример. Над \mathbb{R} спектр может быть пустым множеством, например поворот на угол \alpha:

A= \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}

Лемма. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

\sum\limits_{\lambda \in \Spec A} V^{\lambda} – прямая, где V^{\lambda}=\{ v ~|~ Av=\lambda v \}

Вообще говоря, \sum V^{\lambda} \neq V.

\blacktriangle Пусть \lambda_1,...,\lambda_m – собственные значения (различные).
V^{\lambda_1},...,V^{\lambda_m} – соответствующие собственные подпространства.

Выберем в каждом V^{\lambda_i} по одному вектору e_i. Докажем, что \{ e_i \}_{i=1}^m – линейно независимы.

Индукция по m. m=1 – очевидно.

Шаг индукции. Предположим, что существует нетривиальная линейная комбинация \alpha_1e_1+...+\alpha_me_m=0, где для определенности \alpha_1 \neq 0.

Применим оператор A,~Ae_i=\lambda_i e_i

\alpha_1\lambda_1e_1+...+\alpha_m\lambda_me_m=0

\alpha_1(\lambda_1-\lambda_m)e_1+...+\alpha_{m-1}(\lambda_{m-1}-\lambda_m)e_{m-1}=0

По предположению индукции \alpha_i(\lambda_m - \lambda_i)=0,~i=1,...,m-1, но

\alpha_1 \neq 0,~\lambda_1 \neq \lambda_m \Rightarrow \alpha_1(\lambda_m - \lambda_1) \neq 0, противоречие, поэтому не существует нетривиальной линейной комбинации \Rightarrow e_1,...e_{m-1} – линейно независимы. \blacksquare

Теорема (критерий диагонализируемости). Пусть A – линейный оператор в конечномерном векторном пространстве над полем \mathbb{F}. Для диагонализируемости A необходимо и достаточно:

1) все корни \chi_A(\lambda) лежат в \mathbb{F}

2) геометрическая кратность любого собственного значения равна алгебраической кратности.

\blacktriangle Докажем, что 1), 2) \Rightarrow диагонализируемость.

Пусть \lambda_1,...,\lambda_m – собственные значения. V^{\lambda_i} – соответствующие собственные подпространства.

\dim V^{\lambda_i}=k_i,~\sum\limits_{i=1}^m k_i=n

\sum V^{\lambda_i} – прямая, V^{\lambda_1} \oplus ... \oplus V^{\lambda_m}=V, т.к \sum \dim V^{\lambda_i}=\dim V

Выбирая базисы в V^{\lambda_i} и объединяя их, получим базис в V \Rightarrow в этом базисе матрица A – диагональная.

Докажем теперь, что диагонализируемость \Rightarrow 1), 2).

Пусть \lambda_1,...\lambda_m – собственные значения A.

l_i=\dim V^{\lambda_i},~\sum V^{\lambda_i} – прямая.

Т.к. оператор A диагонализируем \Rightarrow V^{\lambda_1},...,V^{\lambda_m} порождают V \Rightarrow V=V^{\lambda_1} \oplus ... \oplus V^{\lambda_m} \Rightarrow в базисе, получающемся объединением базисов в V^{\lambda_i}, A записывается:

A= \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & \lambda_1 & & & & &\Huge 0 & & & \\ & & & \lambda_2 & & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & & \\ & & & & & \lambda_2 & & & & & \\ & & & & & & \ddots & & & \\ & &\Huge 0 & & & & & \lambda_m & & \\ & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & \lambda_m \\ \end{pmatrix}

\chi_A(\lambda)=(\lambda - \lambda_1)^{l_1}...(\lambda - \lambda_m)^{l_m},~\lambda_1,...,\lambda_m \in \mathbb{F} \Rightarrow l_i – в точности алгебраические кратности \lambda_i. ~\blacksquare