3. Корни многочленов. Теорема Безу. Формальная производная. Кратные корни
Корни многочленов
Пусть есть кольцо A – коммутативное с 1 целостное кольцо.
Определение. c∈A – корень многочлена f(x), если f(c)=0.
Теорема Безу. Элемент c∈A является корнем многочлена f(x)⇔(x−c) делит f(x).
▴ f(x)=q(x)(x−c)+r(x)
degr(x)<deg(x−c)=1
r(x)=const
f(c)=q(c)(c−c)+r
0=r ◼
Схема Горнера.
f(x)=a0xn+a1xn−1+...+an
f(x) делим на (x−c)
f(x)=q(x)(x−c)+f(c)
q(x)=b0xn−1+...+bn−1
b0=a0,...,bk=bk−1c+ak
bn−1=bn−2c+an−1, f(c)=bn−1c+an
Определение. c – k-кратный корень f(x), если f(x) делится на (x−c)k, но не делится на (x−c)k+1
f(x)=(x−c)kg(x), НОД(x−c,g(x))=1
k⩽
Теорема. A – целостное кольцо, f \neq 0,~f \in A[X]
c_1,...,c_r – его корни в A, кратностей k_1,...,k_r. Тогда:
1) f(x)=(x-c_1)^{k_1}...(x-c_r)^{k_r}g(x)
g \in A[X],~g(c_i) \neq 0
2) k_1+...+k_r \leqslant \deg f
\blacktriangle~ \deg f=k_1+...+k_r+\deg g
k_1+...+k_r \leqslant \deg f
Индукция по r.
r=1 – всё ясно (по определению k-кратного корня).
Пусть мы доказали для r-1.
f(x)=(x-c_1)^{k_1}...(x-c_{r-1})^{k_{r-1}}g(x)
c_r \neq c_i,~i=1,...r-1
c_r не является кратным корнем (x-c_1)^{k_1}...(x-c_{r-1})^{k_{r-1}}
c_r – кратный корень f(x),~f(x)=(x-c_r)^{k_r}h(x),~c_r \neq 0
g(x)=(x-c_r)^sv(x),~g(c_r)=0
(x-c_r)^{k_r}h(x)=(x-c_1)^{k_1}...(x-c_{r-1})^{k_{r-1}}(x-c_r)^sv(x)
Используя закон сокращения в целостном кольце, получаем:
s = k_r,~h(x)=v(x)(x-c_1)^{k_1}...(x-c_{r-1})^{k_{r-1}} ~\blacksquare
Следствие. f(x) – многочлен степени \leqslant n
f(x) имеет n+1 корень \Rightarrow f=0
Пример. f \in \mathbb{Z}_8[X]
f(x)=x^3
f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0
##Интерполяция
f \in \mathbb{F}[X],~|\mathbb{F}|=\infty
c_0,...,c_n \in \mathbb{F},~b_0,...,b_n \in \mathbb{F}
Найти многочлен f,~\deg f \leqslant n
f(c_i)=b_i,~i=0,...,n
f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n} l_i \frac{(x-c_0)...(x-c_{i-1})(x-c_{i+1})...(x-c_n)}{(c_i-c_0)...(c_i-c_{i-1})(c_i-c_{i+1})...(c_i-c_n)} – интерполяцонная формула Лагранжа.
Такой f(x) – единственный.
f(x)=a_0x^n+...+a_n
\left \{ \begin{array}{l} a_0c_0^n+...+a_n=b_0 \\ a_0c_n^n+...+a_n=b_0 \end{array} \right . ~~~ \begin{vmatrix} c_0^n & ... & 1 \\ & ... & \\ c_n^n & ... & 1 \end{vmatrix} \neq 0, так как c_i – различные.
Дифференцирование кольца многочленов
f(x)=a_0x^n+...+a_{n-1}x+a_n
Производная: f'(x)=na_0x^{n-1}+...+a_{n-1}
f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
1) (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'
2) (fg)'=f'g+fg'
Дифференцирование кольца K=\mathbb{F}[X],~D:K \rightarrow K
1) D(u+v)=Du+Dv
2) множество всех дифференцирований – пространство Der(K) над \mathbb{F} или над \mathbb{Z}
[D_1,D_2] = D_1D_2-D_2D_1 – тоже дифференцирование.
Следствие.
1) D^{(m)}(uv)=\sum\limits_{k=0}^{m} C_m^kD^k(u)D^{m-k}(v)
2) Пусть K=\mathbb{F}[X], тогда D(\lambda f)=\lambda Df,~\lambda \in \mathbb{F}
3) Df(x)=f'(x)Dx,~Dx \in \mathbb{F}[X]
Если Dx=1, то Df(x)=f'(x)
4) Dx^2=xDx+Dx \cdot x=2xDx
##Кратные множители
f(x)=a_0x^n+...+a_n,~f^{(n)}(x)=n!a_0,~f^{(n+1)}(x)=0
Если char \mathbb{F}=0, то \deg f'=\deg f-1
Если char \mathbb{F}=p, то f(x)=x^p,~f'(x)=px^{p-1}=0
Теорема. \mathbb{F} – произвольное поле.
f(x) имеет кратный корень c \in \mathbb{F} \Leftrightarrow f(c)=f'(c)=0.
\blacktriangle Пусть f \in \mathbb{F}[X] – произвольный многочлен
f(x) поделим на (x-c)^2
f(x)=q(x)(x-c)^2+(x-c)s+r
f'(x)=q'(x)(x-c)^2+q(x) \cdot 2(x-c)+s
Подставим x=c, получим r=f(c),~s=f'(c)
f(x)=(x-c)^2t(x)+f'(c)(x-c)+f(c) ~\blacksquare
Определение. Пусть есть поле \mathbb{F},~char\mathbb{F}=0 (например, \mathbb{Q},~\mathbb{R},~\mathbb{C})
f(x)=\lambda p_1^{k_1}(x)...p_r^{k_r}(x),~p_i – нормализованные многочлены.
p_i(x) – k_i-кратный множитель для f.
Теорема. Пусть p(x) – k-кратный множитель для f. Тогда p(x) – (k-1)-кратный множитель для f'.
\blacktriangle~ f(x)=p^k(x)g(x), где НОД(p(x),g(x))=1
f'(x)=p^{k-1}(x)(kp'g+pg')=p^kg'+p^{k-1}p'g
Если мы покажем, что p'g не делится на p, то теорема доказана.
g(x) не делится на p(x),~\deg p' < \deg p \Rightarrow p'g не делится на p. ~\blacksquare
Следствие. Для многочлена f(x) \in \mathbb{F}[X],~char \mathbb{F}=0 следующие условия эквивалентны:
1) f имеет корень c \in \mathbb{F} кратности k.
2) f^{(j)}(c)=0,~0 \leqslant j \leqslant k-1,~f^{(k)}(c) \neq 0.
\blacktriangle Применяем теорему к p(x)=x-c~~k раз. \blacksquare
Следствие. Пусть f(x) \in \mathbb{F}[X] имеет разложение f(x)=p_1^{k_1}(x)...p_n^{k_n}(x).
Тогда разложение для НОД(f,f'): НОД(f,f')=p_1^{k_1-1}...p_n^{k_n-1}(x).
Замечание. Для нахождения корней f(x) можно использовать соображение:
\frac{f(x)}{НОД(f,f')}=p_1(x)...p_n(x)