8. Существование жордановой нормальной формы в случае одного собственного значения
Случай нильпотентного оператора
Пусть B=A−λE – нильпотентный оператор, действующий на V, индекса нильпотентности m (т.е. Bm=O).
Определение. Линейная оболочка F[B]v=<v,Bv,...,Bm′−1v> называется циклическим подпространством, ассоциированным с оператором B индекса нильпотентности m и вектором v (m′⩽ – наименьшее натуральное число, для которого B^{m'}v=0).
Теорема. ЖНФ J(B) нильпотентной матрицы B существует (поле \mathbb{F} – произвольное).
\blacktriangle Рассмотрим пример.
Пример. Пусть B:V \rightarrow V – нильпотентный линейный оператор индекса нильпотентности m, так что \mu_B(t)=t^m.
Пусть B^{m-1}v \neq 0 \Rightarrow векторы v,Bv,...,B^{m-1}v линейно независимы. Предположим обратное.
Пусть B^kv+\alpha_1B^{k+1}v+...+\alpha_{m-1-k}A^{m-1}v=0,~0 \leqslant k \leqslant m-1, – нетривиальная линейная комбинация. Применим оператор B^{m-1-k} к обеим частям равенства. Получим B^{m-1}v=0, что противоречит выбору v \Rightarrow векторы линейно независимы.
m \leqslant n=\dim V (вытекает из теоремы Гамильтона-Кэли: \chi_B(B)=O). Предположим, что m=n и B^{n-1}e \neq 0. Обозначим базисные вектора:
e_1=B^{n-1}e,~e_2=B^{n-2}e,~...,~e_{n-1}=Be,~e_n=e
Тогда Be_1=0,~Be_k=e_{k-1},~k>1, и матрицей оператора B в базисе (e_1,...e_n) будет жорданова клетка J_n(\lambda),~\lambda=0.
Из определения жордановой клетки и примера видно, что всякому циклическому подпространству отвечает клетка Жордана. Покажем, что векторное пространство V, на котором действует нильпотентный оператор B, разлагается в прямую сумму надлежащим образом выбранных циклических подпространств.
По теореме о том, что матрицу линейного оператора всегда можно привести к треугольному виду, матрица B приводится к верхнетреугольному виду с нулями по диагонали \Rightarrow линейная оболочка U первых n-1 базисных векторов инвариантна относительно B \Rightarrow BV \subset U. По предположению индукции в U можно выбрать жорданов базис для B или:
\begin{equation} U=\mathbb{F}[B]e_1 \oplus ... \oplus \mathbb{F}[B]e_s \end{equation}
\mathbb{F}[B]e_i= \langle e_i,Be_i,...,B^{m_i-1}e_i \rangle,~B^{m_i}e_i=0
Без ограничения общности считаем
\begin{equation} m_1 \geqslant m_2 \geqslant ... \geqslant m_s \end{equation}
V= \langle v,U \rangle,~Bv \in U для любого v \notin U,~Bv=\sum\limits_i \alpha_ie_i+Bu,~u \in U.
Заменим v на v'=v-u. Имеем:
V= \langle v', U \rangle,~Bv'=\sum\limits_{i=1}^s \alpha_ie_i
Если \alpha_i=0,~1 \leqslant i \leqslant s, то к клеткам Жордана J_{m_1}(0),...,J_{m_s}(0) добавится J_1(0), отвечающая циклическому пространству \langle v' \rangle, т.е.
B \sim J(B)= \begin{pmatrix} J_{m_1}(0) & & & 0 \\ & \ddots & &\\ & & J_{m_s}(0) & \\ 0 & & & J_1(0) \end{pmatrix}
Остается рассмотреть случай, когда
\alpha_1=...=\alpha_{r-1}=0,~Bv'=\sum\limits_{i=r}^s \alpha_ie_i,~\alpha_r \neq 0
для некоторого индекса r \geqslant 1. Положим
e'_i=e_i,~i \neq r,~e'_r=\frac{1}{\alpha_r}v',~\beta_i=\frac{\alpha_i}{\alpha_r}
Тогда
Be'_r=e_r+\sum\limits_{i=r+1}^s \beta_ie_i =: f_r
В соответствии с упорядочением (2) B^{m_r}f_r=0, а так как сумма (1) прямая, то B^{m_r-1}f_r \neq 0, какие бы ни были коэффициенты \beta_i. Кроме того, сумма \sum\limits_{i \neq r} \mathbb{F}[B]e'_i+\mathbb{F}[B]f_r также прямая и совпадает с U.
Циклическое подпространство \mathbb{F}[B]f_r расширяется за счет вектора e'_r \notin U: \mathbb{F}[B]f_r \subset \mathbb{F}[B]e'_r, и мы имеем прямую сумму:
V=\bigoplus\limits_{i=1}^s \mathbb{F}[B]e'_i
отвечающую набору индексов m'_1,...,m'_s, где m'_i=m_i,~i \neq r,~m'_r=m_r+1. В свою очередь
B \sim \begin{pmatrix} J_{m'_1}(0) & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & J_{m'_s}(0) \\ \end{pmatrix}
(число клеток Жордана сохранилось прежним, но размер одной клетки увеличился на 1). Последовательность (m'_1,...,m'_s), вообще говоря, не упорядочена, но этого всегда можно добиться путём переобозначения векторов e'_i. Таким образом, существование жорданова базиса для нильпотентного оператора B доказано. \blacksquare
Т.к. B=A-\lambda E, то мы доказали существование ЖНФ в случае одного собственного значения.