8. Существование жордановой нормальной формы в случае одного собственного значения

$\DeclareMathOperator{\diag}{diag}$

Случай нильпотентного оператора

Пусть $B=A-\lambda E$ – нильпотентный оператор, действующий на $V$, индекса нильпотентности $m$ (т.е. $B^m=O$).

Определение. Линейная оболочка $\mathbb{F}[B]v=< v,Bv,...,B^{m'-1}v > $ называется циклическим подпространством, ассоциированным с оператором $B$ индекса нильпотентности $m$ и вектором $v$ ($m' \leqslant m$ – наименьшее натуральное число, для которого $B^{m'}v=0$).

Теорема. ЖНФ $J(B)$ нильпотентной матрицы $B$ существует (поле $\mathbb{F}$ – произвольное).

$\blacktriangle$ Рассмотрим пример.

Пример. Пусть $B:V \rightarrow V$ – нильпотентный линейный оператор индекса нильпотентности $m$, так что $\mu_B(t)=t^m$.

Пусть $B^{m-1}v \neq 0 \Rightarrow$ векторы $v,Bv,...,B^{m-1}v$ линейно независимы. Предположим обратное.

Пусть $B^kv+\alpha_1B^{k+1}v+...+\alpha_{m-1-k}A^{m-1}v=0,~0 \leqslant k \leqslant m-1,$ – нетривиальная линейная комбинация. Применим оператор $B^{m-1-k}$ к обеим частям равенства. Получим $B^{m-1}v=0$, что противоречит выбору $v \Rightarrow$ векторы линейно независимы.

$m \leqslant n=\dim V$ (вытекает из теоремы Гамильтона-Кэли: $\chi_B(B)=O$). Предположим, что $m=n$ и $B^{n-1}e \neq 0$. Обозначим базисные вектора:

$$e_1=B^{n-1}e,~e_2=B^{n-2}e,~...,~e_{n-1}=Be,~e_n=e$$

Тогда $Be_1=0,~Be_k=e_{k-1},~k>1,$ и матрицей оператора $B$ в базисе $(e_1,...e_n)$ будет жорданова клетка $J_n(\lambda),~\lambda=0$.

Из определения жордановой клетки и примера видно, что всякому циклическому подпространству отвечает клетка Жордана. Покажем, что векторное пространство $V$, на котором действует нильпотентный оператор $B$, разлагается в прямую сумму надлежащим образом выбранных циклических подпространств.

По теореме о том, что матрицу линейного оператора всегда можно привести к треугольному виду, матрица $B$ приводится к верхнетреугольному виду с нулями по диагонали $\Rightarrow$ линейная оболочка $U$ первых $n-1$ базисных векторов инвариантна относительно $B \Rightarrow BV \subset U$. По предположению индукции в $U$ можно выбрать жорданов базис для $B$ или:

$$ \begin{equation} U=\mathbb{F}[B]e_1 \oplus ... \oplus \mathbb{F}[B]e_s \end{equation} $$

$$\mathbb{F}[B]e_i= \langle e_i,Be_i,...,B^{m_i-1}e_i \rangle,~B^{m_i}e_i=0$$

Без ограничения общности считаем

$$ \begin{equation} m_1 \geqslant m_2 \geqslant ... \geqslant m_s \end{equation} $$

$V= \langle v,U \rangle,~Bv \in U$ для любого $v \notin U,~Bv=\sum\limits_i \alpha_ie_i+Bu,~u \in U$.

Заменим $v$ на $v'=v-u$. Имеем:

$$V= \langle v', U \rangle,~Bv'=\sum\limits_{i=1}^s \alpha_ie_i$$

Если $\alpha_i=0,~1 \leqslant i \leqslant s$, то к клеткам Жордана $J_{m_1}(0),...,J_{m_s}(0)$ добавится $J_1(0)$, отвечающая циклическому пространству $\langle v' \rangle$, т.е.

$$B \sim J(B)= \begin{pmatrix} J_{m_1}(0) & & & 0 \\ & \ddots & &\\ & & J_{m_s}(0) & \\ 0 & & & J_1(0) \end{pmatrix} $$

Остается рассмотреть случай, когда

$$\alpha_1=...=\alpha_{r-1}=0,~Bv'=\sum\limits_{i=r}^s \alpha_ie_i,~\alpha_r \neq 0$$

для некоторого индекса $r \geqslant 1$. Положим

$$e'_i=e_i,~i \neq r,~e'_r=\frac{1}{\alpha_r}v',~\beta_i=\frac{\alpha_i}{\alpha_r}$$

Тогда

$$Be'_r=e_r+\sum\limits_{i=r+1}^s \beta_ie_i =: f_r$$

В соответствии с упорядочением (2) $B^{m_r}f_r=0$, а так как сумма (1) прямая, то $B^{m_r-1}f_r \neq 0$, какие бы ни были коэффициенты $\beta_i$. Кроме того, сумма $\sum\limits_{i \neq r} \mathbb{F}[B]e'_i+\mathbb{F}[B]f_r$ также прямая и совпадает с $U$.

Циклическое подпространство $\mathbb{F}[B]f_r$ расширяется за счет вектора $e'_r \notin U: \mathbb{F}[B]f_r \subset \mathbb{F}[B]e'_r$, и мы имеем прямую сумму:

$$V=\bigoplus\limits_{i=1}^s \mathbb{F}[B]e'_i$$

отвечающую набору индексов $m'_1,...,m'_s$, где $m'_i=m_i,~i \neq r,~m'_r=m_r+1$. В свою очередь

$$B \sim \begin{pmatrix} J_{m'_1}(0) & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & J_{m'_s}(0) \\ \end{pmatrix} $$

(число клеток Жордана сохранилось прежним, но размер одной клетки увеличился на 1). Последовательность $(m'_1,...,m'_s)$, вообще говоря, не упорядочена, но этого всегда можно добиться путём переобозначения векторов $e'_i$. Таким образом, существование жорданова базиса для нильпотентного оператора $B$ доказано. $\blacksquare$

Т.к. $B=A-\lambda E$, то мы доказали существование ЖНФ в случае одного собственного значения.