Processing math: 82%
Now you are in the subtree of Lecture Notes public knowledge tree. 

13. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Определение. Квадратичной формой на конечномерном векторном пространстве V над F называется функция q:VF, обладающая двумя свойствами:

1) q(v)=q(v) vV

2) f(x,y)=12(q(x+y)q(x)q(y)) – билинейная форма (симметрическая).

Определение. Симметрическая билинейная форма f, определенная формулой f(x,y)=12(q(x+y)q(x)q(y)), получается из q поляризацией.
f – билинейная форма, полярная к квадратичной форме q.

Пусть f – произвольная билинейная симметричная форма. Положим:

qf(x)=f(x,x)

qf(x)=f(x,x)=f(x,x)=qf(x) и

f(x,y)=f(x,y)=12(f(x+y,x+y)f(x,x)f(y,y))

То есть, по билинейной симметричной форме можно построить квадратичную форму.

Теорема. Каждая квадратичная форма q однозначно представляется по своей билинейной форме f, т.е. q=qf.

 f(x,y)=12(q(x+y)q(x)q(y))

Пусть y=x. Тогда

f(x,x)=12(q(0)q(x)q(x))q(x)=f(x,x)+12q(0)

Так как f – билинейная форма, то f(0,0)=0.

x=0q(0)=12q(0)q(0)=0f(x,x)=q(x).

Определение. Матрицей квадратичной формы q=qf относительно базиса (e1,...,en) пространства V называется матрица F билинейной формы f, полярной к q в этом же базисе.

F=(fij) – матрица квадратичной формы.

fij=12(q(ei+ej)q(ei)q(ej))

Любой симметричной матрице F=(fij) отвечает квадратичная форма q:

q(x)=f(x,x)=XTFX=i,jfi,jxixj

Таким образом, квадратичная форма – однородная квадратичная функция координат x1,...,xn вектора x=x1e1+...+xnen.

Определение. Квадратичная форма q имеет в базисе (e1,...,en) пространства V канонический (диагональный) вид, если для каждого x=xieiV

q(x)=ifiix2i

Базис (ei) при этом называется каноническим базисом для q.

То же самое и для соответствующей полярной билинейной формы:

f(x,y)=nifiixiyi

Матрица F имеет диагональный вид.

Замечание. В каноническом виде rankqf=rankf= число отличных от нуля коэффициентов fii.

Определение. Подпространство (ядро билинейной формы)

Lq={uV | q(u+v)=q(u)+q(v) vV}

называется изотропным (нулевым) подпространством.

Канонический вид квадратичной формы

Теорема. Для всякой симметричной билинейной формы f на V существует канонический базис.

Индукция по размерности.

n=1 – верно. Если f0, то теорема очевидна: любой базис годится.

Предположим, что f0.

Существует вектор e1V:f(e1,e1)=q(e1)0. Тогда линейная функция f1:xf(x,e1) отлична от нуля (f1(e1)0). Рассмотрим L=Kerf1={xv | f1(x)=0}

f1 – нетривиальная dimL=n1 (т.к. это линейная функция).

По предположению индукции L обладает базисом, в котором матрица формы f, ограниченной на L, диагональна, т.е.

f(ei,ej)=0,  ij,  i,j=2,...,n

По построению f(ei,e1)=0, i=2,...,n. Получаем свойства f(ei,ej)=0, ij, характеризующие канонический базис (ek).

Осталось проверить, что (e1,...,en) – линейно независимы.

Допустим: α1e1+...+αnen=0 (нетривиальная). Так как e2,...,en – линейно независимы, то α10 и e1=i

0 \neq f_1(e_1)=f_1(\sum\limits_{i \geqslant 2} \beta_ie_i)=\sum\limits_{i \geqslant 2} \beta_if_1(e_i)=0

– противоречие \Rightarrow e_1,...,e_n – канонический базис. \blacksquare

Следствие. Пусть на векторном пространстве V размерности n задана квадратичная форма q ранга r \leqslant n. Тогда в V существует базис (e_1,...,e_n), такой что:

q(x)=\lambda_1x_1^2+...+\lambda_rx_r^2

Следствие. Пусть F – симметричная матрица. Тогда существует невырожденная матрица A, такая что A^TFA – диагональная матрица того же ранга, что и F.

Алгоритм приведения квадратичной формы к диагональному виду