13. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Определение. Квадратичной формой на конечномерном векторном пространстве V над F называется функция q:V→F, обладающая двумя свойствами:
1) q(−v)=q(v) ∀v∈V
2) f(x,y)=12(q(x+y)−q(x)−q(y)) – билинейная форма (симметрическая).
Определение. Симметрическая билинейная форма f, определенная формулой f(x,y)=12(q(x+y)−q(x)−q(y)), получается из q поляризацией.
f – билинейная форма, полярная к квадратичной форме q.
Пусть f – произвольная билинейная симметричная форма. Положим:
qf(x)=f(x,x)
qf(−x)=f(−x,−x)=f(x,x)=qf(x) и
f(x,y)=f(x,y)=12(f(x+y,x+y)−f(x,x)−f(y,y))
То есть, по билинейной симметричной форме можно построить квадратичную форму.
Теорема. Каждая квадратичная форма q однозначно представляется по своей билинейной форме f, т.е. q=qf.
▴ f(x,y)=12(q(x+y)−q(x)−q(y))
Пусть y=−x. Тогда
−f(x,x)=12(q(0)−q(x)−q(−x))⇒q(x)=f(x,x)+12q(0)
Так как f – билинейная форма, то f(0,0)=0.
x=0⇒q(0)=12q(0)⇒q(0)=0⇒f(x,x)=q(x).
Определение. Матрицей квадратичной формы q=qf относительно базиса (e1,...,en) пространства V называется матрица F билинейной формы f, полярной к q в этом же базисе.
F=(fij) – матрица квадратичной формы.
fij=12(q(ei+ej)−q(ei)−q(ej))
Любой симметричной матрице F=(fij) отвечает квадратичная форма q:
q(x)=f(x,x)=XTFX=∑i,jfi,jxixj
Таким образом, квадратичная форма – однородная квадратичная функция координат x1,...,xn вектора x=x1e1+...+xnen.
Определение. Квадратичная форма q имеет в базисе (e1,...,en) пространства V канонический (диагональный) вид, если для каждого x=∑xiei∈V
q(x)=∑ifiix2i
Базис (ei) при этом называется каноническим базисом для q.
То же самое и для соответствующей полярной билинейной формы:
f(x,y)=n∑ifiixiyi
Матрица F имеет диагональный вид.
Замечание. В каноническом виде rankqf=rankf= число отличных от нуля коэффициентов fii.
Определение. Подпространство (ядро билинейной формы)
Lq={u∈V | q(u+v)=q(u)+q(v) ∀v∈V}
называется изотропным (нулевым) подпространством.
Канонический вид квадратичной формы
Теорема. Для всякой симметричной билинейной формы f на V существует канонический базис.
▴ Индукция по размерности.
n=1 – верно. Если f≡0, то теорема очевидна: любой базис годится.
Предположим, что f≠0.
Существует вектор e1∈V:f(e1,e1)=q(e1)≠0. Тогда линейная функция f1:x→f(x,e1) отлична от нуля (f1(e1)≠0). Рассмотрим L=Kerf1={x∈v | f1(x)=0}
f1 – нетривиальная ⇒dimL=n−1 (т.к. это линейная функция).
По предположению индукции L обладает базисом, в котором матрица формы f, ограниченной на L, диагональна, т.е.
f(ei,ej)=0, i≠j, i,j=2,...,n
По построению f(ei,e1)=0, i=2,...,n. Получаем свойства f(ei,ej)=0, i≠j, характеризующие канонический базис (ek).
Осталось проверить, что (e1,...,en) – линейно независимы.
Допустим: α1e1+...+αnen=0 (нетривиальная). Так как e2,...,en – линейно независимы, то α1≠0 и e1=∑i⩾
0 \neq f_1(e_1)=f_1(\sum\limits_{i \geqslant 2} \beta_ie_i)=\sum\limits_{i \geqslant 2} \beta_if_1(e_i)=0
– противоречие \Rightarrow e_1,...,e_n – канонический базис. \blacksquare
Следствие. Пусть на векторном пространстве V размерности n задана квадратичная форма q ранга r \leqslant n. Тогда в V существует базис (e_1,...,e_n), такой что:
q(x)=\lambda_1x_1^2+...+\lambda_rx_r^2
Следствие. Пусть F – симметричная матрица. Тогда существует невырожденная матрица A, такая что A^TFA – диагональная матрица того же ранга, что и F.