6. Приведение матрицы преобразования к треугольному виду. Теорема Гамильтона-Кэли

$\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker} \DeclareMathOperator{\codim}{codim} \DeclareMathOperator{\tr}{tr} \DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}$

Сопряженный линейный оператор

Определение. Пусть $V$ – векторное пространство над полем $\mathbb{F}$

$A:V \rightarrow V$ – линейный оператор.

$V^*$ – сопряженное пространство.

Определим отображение:

$f \in V^*,~(A^*f)(x)=f(Ax)$, где $A^*:V^* \rightarrow V^*$ и $A^*f \in V^*$, т.к.:

$A^*f(\alpha x+\beta y)=f(A(\alpha x+\beta y))=\alpha f(Ax)+\beta f(Ay)=\alpha A^*f(x)+\beta A^*f(y)$

$A^*(\alpha f + \beta g)(x)=(\alpha f + \beta g)(Ax)=\alpha f(Ax)+\beta g(Ax)=\alpha A^*f(x)+\beta A^*g(x) \Rightarrow A^*(\alpha f+\beta g)=\alpha A^*f+\beta A^*g$

Линейный оператор $A^*$ называют сопряженным к $A$.

Свойства

$O_V^*=O_{V^*}$

$E_V^*=E_{V^*}$

$(A+B)^*=A^*+B^*$

$(\alpha A)^*=\alpha A^*$

$(AB)^*=B^*A^*$

$(AB)^*f(x)=f(ABx)=f(A(Bx))=A^*f(Bx)=B^*A^*f(x)$

Теорема. Если в базисе $e_i$ пространства $V$ линейный оператор $A$ имеет матрицу $(a_{ij})$, то в дуальном базисе $e^i$ сопряженного пространства $V^*$ оператор $A^*$ имеет матрицу $(a_{ji})=A^T$.

$\blacktriangle~ A:V \rightarrow V,~\{ e_i \}$ – базис в $V$, тогда $Ae_j=\sum\limits_{k=1}^n a_{kj}e_k$.

$A:V^* \rightarrow V^*,~\{ e^i \}$ – базис в $V^*,~e^i(e_j)=\delta_{ij}= \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{cases}$

$e^i(Ae_j)=e^i(\sum\limits_{k=1}^n a_{kj}e_k)=a_{ij}$

$A^*e^i=\sum\limits_{k=1}^n a_{ki}^*e^k$

$A^*e^i(e_j)=\sum\limits_{k=1}^n a_{ki}^*e^k(e_j)=a_{ji}^*$

$e^i(Ae_j)=A^*e^i(e_j) \Rightarrow a_{ji}^*=a_{ij}~\blacksquare$

Теорема. Всякий комплексный линейный оператор обладает инвариантной гиперплоскостью (инвариантным подпространством коразмерности 1).

$\blacktriangle $ Пусть $\dim V=n$

$f \in V^*,~f \neq 0 \Rightarrow \dim\Ker f=n-1$

Возьмем в качестве $f$ собственный вектор оператора $A^*: A^*f=\lambda f$ (он существует, т.к. всякий комплексный (вещественный) линейный оператор имеет одномерное (одномерное или двумерное) инвариантное подпространство) $\Rightarrow x \in \Ker f,~\Ker f$ – инвариантное подпространство относительно $A \Rightarrow f(Ax)=A^*f(x)=\lambda f(x)=0 \Rightarrow f(Ax)=0 \Rightarrow Ax \in \Ker f~\blacksquare$

##Теорема Гамильтона-Кэли

Теорема (о приведении матрицы к треугольному виду). Матрицу линейного оператора всегда можно привести к треугольному виду.

$\begin{pmatrix} \lambda_1 & &\huge * \\ & \ddots & \\ \huge 0& & \lambda_n \\ \end{pmatrix}$

$\blacktriangle$ По индукции.

Пусть $A:V \rightarrow V$

По теореме об инвариантной гиперплоскости $V$ содержит инвариантное подпространство $U \subset V,~\codim U=1~(\codim U = \dim V - \dim U)$.

В $U$ существует базис $\{ e_i \}$, такой что $Ae_i=\lambda_i e_i+v_i,~v_i \in \langle e_1,...e_{i-1} \rangle$

Пусть вектор $e_n \notin V$, тогда $V=\langle e_n, U\rangle$.

Пусть $Ae_n=\lambda_n e_n+u,~u \in U$. Тогда в базисе $\langle e_1,..,e_n\rangle$ матрица оператора имеет вид:

$A= \begin{pmatrix} \lambda_1 & &\huge * \\ & \ddots & \\ \huge 0& & \lambda_n \\ \end{pmatrix} ~\blacksquare$

Теорема (Гамильтона-Кэли). Линейный оператор $A$ и соответствующая ему матрица аннулируются своим характеристическим многочленом, т.е. $\chi_A(A)=O$

Пример. $n=2,~A^2-\tr A \cdot A+\det A \cdot E=0$

$m>n,~A^m=0 \Rightarrow A^n=0$

$\blacktriangle$ Воспользуемся предыдущей теоремой, считая матрицу $A$ в базисе $\langle e_1,..,e_n\rangle$ – треугольной. Рассмотрим цепочку $A$-инвариантных подпространств:

$V=V_0 \supset V_1 \supset ... \supset V_n=0$, где $V_k=\langle e_1,e_2,...,e_{n-k-1},e_{n-k}\rangle$

Т.к. $(A-\lambda_{n-k} E)e_{n-k} \in V_{k+1}$, то $(A-\lambda_{n-k} E)V_k \subseteq V_{k+1}$

$\chi_A(A) V=\prod\limits_{i=1}^n (A-\lambda_i E)V=(A-\lambda_1 E)...(A-\lambda_n E)V_0 \subseteq (A-\lambda_1 E)...(A-\lambda_{n-1} E)V_1 \subseteq ... \subseteq (A-\lambda_1 E)V_{n-1}=0$

$(A-\lambda_i E)\langle e_1,..,e_i\rangle \subseteq \langle e_1,..,e_{i-1}\rangle$

$Ae_i=\lambda_ie_i+v,~v \in \langle e_1,..,e_{i-1}\rangle$

$(A-\lambda_i E)\langle e_1,..,e_{i-1}\rangle \subseteq \langle e_1,..,e_{i-1}\rangle$

$\chi_A(A)V=0 \Rightarrow \chi_A(A)=O ~\blacksquare$

Следствие. Минимальный многочлен $\mu_A(t)$ оператора $A$ является делителем характеристического многочлена $\chi_A(t)$, и $\mu_A(t)$ делится на все $t-\lambda,~\lambda \in \Spec A$.

$\blacktriangle~ \mu_A(A)=O$ (по определению) и $\chi_A(A)=O$ (по теореме Гамильтона-Кэли) $\Rightarrow \chi_A(t) ~\vdots~ \mu_A(t)$ (т.к. любой аннулирующий многочлен оператора делится без остатка на минимальный многочлен).

Возьмем собственное значение $\lambda \in \mathbb{C}$ оператора $A$

$Av=\lambda v \Rightarrow \mu_A(A)v=\mu_A(\lambda)v=0 \Rightarrow \mu_A(\lambda)=0 \Rightarrow \mu_A(t)$ делится на $t-\lambda$ (по теореме Безу). $\blacksquare$