2. Основная теорема алгебры для многочленов

Алгебраическая замкнутость $\mathbb{C}$

Определение. $\mathbb{F}$ – алгебраически замкнутое, если любой многочлен $f \in \mathbb{F}[X]$ раскладывается на линейные множители.

1) $\mathbb{F}$ – алгебраически замкнуто, если неприводимые многочлены – линейные многочлены.

2) $\mathbb{F}$ – алгебраически замкнуто, если любой многочлен имеет хотя бы один корень.

$f(x)=(x-l)h(x)$

$h(x)$ тоже имеет корень и, продолжая этот процесс, получаем разложение $f$ на линейные многочлены.

Факт. Для любого поля $\mathbb{F}$ существует $\overline{\mathbb{F}} \supset \mathbb{F}$, где $\overline{\mathbb{F}}$ – алгебраически замкнуто.

$\mathbb{C}=\mathbb{R}(i) \supset \mathbb{R}~~~~~ \mathbb{C} \supset \overline{\mathbb{Q}} \supset \mathbb{Q}$, где $\overline{\mathbb{Q}}$ – поле алгебраических чисел.

Теорема (основная теорема алгебры). $\mathbb{C}$ алгебраически замкнуто.

$f(z)=a_0z^n+...+a_{n-1}z+a_n~(n \geqslant 1)$ имеет хотя бы один корень.

Рассмотрим случай, когда $a_n \neq 0$ ($a_n=0 \Rightarrow$ корень $z=0$)

Компакт $\{z:~|z| \leqslant r\}$

$|f(z)|$ достигает минимума, и этот минимум равен 0.

Лемма 1. Существует $r \in \mathbb{R}$, такое что $|f(z)| > |f(0)|$ для всех $z \in \mathbb{C}$, таких что $|z| > r$.

$\blacktriangle~ |f(z)|=|z|^n|a_0+g(z^{-1})|$, где $g(u)=a_1u+...+a_nu^n$

$g$ непрерывна в точке 0 $\Rightarrow \exists \delta>0:~|g(u)| \leqslant \frac{|a_0|}{2},~|u| < \delta$

$|f(z)| \geqslant |z|^n(|a_0|-|g(z^{-1})|) \geqslant \frac{1}{2}|a_0| \cdot |z|^n > |a_n|$

$|z| \geqslant \frac{1}{\delta}$

Осталось подобрать такое $r$, что $|a_0|r^n>2|a_n|=2|f(0)| ~\blacksquare$

Следствие. Для каждого многочлена $f \in \mathbb{C}[Z]$ существует $z_0 \in \mathbb{C}:~|f(z_0)|=\inf\limits_{z \in \mathbb{C}} |f(z)|$

$\blacktriangle~ |f(z)|>|f(0)|,~~ \forall z:|z|>r$

$\exists r \in \mathbb{R}$. Рассмотрим $\{z:|z| \leqslant r\},~|f(z)|$ достигает своего минимума. $\blacksquare$

Лемма 2. Пусть $k \in \mathbb{N}$, $h \in \mathbb{C}[z],~h(0) \neq 0$.

Тогда для $\forall a \in \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}$ существует $b \in \mathbb{C}:~|a+b^k h(b)| < |a|$

$\blacktriangle~ h$ – непрерывен: $\exists \delta>0:~|z|< \delta,~|h(z)-h(0)| < \frac{|h(0)|}{2}$

Применим к $a+z^kh(z)=a+h(0)z^k+z^k(h(z)-h(0))$

$|a+z^kh(z)| < |a+h(0)z^k| + \frac{|h(0)|}{2}|z|^k$

Выберем $b \in \mathbb{C}:~h(0)b^k=-ta,~0 < t < 1$

В качестве $b:~ \sqrt[k]{- \frac{ta}{h(0)}}$

$|a+h(0)b^k|=(1-t)|a|$

$\frac{h(0)b^k}{2} = \frac{t|a|}{2},~|b| < \delta,~ t < |h(0)a^{-1}| \delta^k$

$z=b:~|a+b^kh(b)| \leqslant (1-t)|a| + \frac{t|a|}{2} = (1 - \frac{t}{2})|a| < |a| ~\blacksquare$

Лемма (Д'Аламбера-Аргана). $f(z) \in \mathbb{C}[Z]$ – многочлен положительной степени.

Пусть $c \in \mathbb{C},~f(c) \neq 0$, тогда $\exists c' \in \mathbb{C}: |f(c')| < |f(c)|$.

$\blacktriangle~ f(z+c)=f(c)+b_kz^k+b_{k+1}z^{k+1}+...+b_nz^n,~b_k \neq 0$, где $b_k$ – первый ненулевой коэффициент.

$f(z+c)=f(c)+z^kh(z),~h(z)=b_k+b_{k+1}z+...+b_nz^{n-k}$

Применим лемму 2:

$a=f(c) \neq 0 \overset{Л2}{\Rightarrow} \exists b:$при $c'=b+c$ выполнено неравенство:

$|f(c')|=|f(b+c)|=|f(c)+b^kh(b)| < |f(c)| ~\blacksquare$

Доказательство теоремы

$\blacktriangle$ Из следствия из Л1: $\exists z_0:~|f(z_0)| = \inf\limits_{z \in \mathbb{C}} |f(z)|$. Предположим, что:

$|f(z_0)| \neq 0 \Rightarrow$ (по лемме Д'Аламбера-Аргана) $\exists z':$
$|f(z')| < |f(z_0)| \Rightarrow$ противоречие $\Rightarrow |f(z_0)|=0 ~\blacksquare$

Лемма (о модуле старшего члена).

$f(z) \in \mathbb{C}[z]~~~~~a_0,a_1,...,a_n,~n \geqslant 1$

$A = \max(|a_0|,...,|a_r|),~r=\frac{A}{|a_0|}+1$

При $|z| > r,~|a_0z^n| > |a_1z^{n+1}+...+a_n|$

Следствие. Пусть $f(x) \in \mathbb{R}[X]$. Тогда для всех $x \in \mathbb{R}$, достаточно больших по модулю, знак $f(x)$ совпадает со знаком $a_nx^n$ (старший член).

Следствие. Любой многочлен $f(x) \in \mathbb{R}[X]$ нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.