3. Предел последовательности

Числовые последовательности. Определение и терминология

Определение 3.1. Числовой последовательностью будем называть функцию $f\colon \mathbb {N}\rightarrow \mathbb {R}$. Если пара $(n, a) \in f$, то второй элемент будем называть $n$-м членом (элементом) и обозначать $a_ n$. При этом саму последовательность будем обозначать $\{ a_ n\}$ или $\{ a_ n\} _{n=1}^\infty$.

Замечание. Всюду в дальнейшем, если не указано обратного, последовательность обозначает числовую последовательность.

Определение 3.2. Последовательность $\{ a_ n\}$ называется постоянной, если $\forall n \in \mathbb {N}\colon a_ n = a_1$.

Определение 3.3. Последовательность $\{ a_ n\}$ называется ограниченной сверху (ограниченной снизу, ограниченной), если множество её значений $\{ x\in \mathbb {R}\colon x = a_ n, n \in \mathbb {N}\}$ ограничено сверху (ограниченно снизу, ограниченно).

Определение 3.4. Последовательность $\{ a_ n\}$ называется неограниченной (неограниченной снизу, неограниченной сверху), если $\{ a_ n\}$ не является ограниченной (ограниченной снизу, ограниченной сверху).

Введём обозначения:

$\sup \{ a_ n\} = \sup \{ x\in \mathbb {R}\colon x = a_ n, n \in \mathbb {N}\}$,

$\inf \{ a_ n\} = \inf \{ x\in \mathbb {R}\colon x = a_ n, n \in \mathbb {N}\}$.