4.6. Монотонные функции
Определение 4.17. Функция f:E→R называется нестрого возрастающей (нестрого убывающей) на X⊂E, если ∀x,x′∈X (x<x′⇒f(x)⩽f(x′)) (соотв. f(x)⩾f(x′)).
Определение 4.18. Функция f:E→R называется строго возрастающей (строго убывающей) на X⊂E, если ∀x,x′∈X (x<x′⇒f(x)<f(x′)) (соотв. f(x)>f(x′)).
Определение 4.19. Функция f:E→R называется монотонной на X⊂E, если f нестрого возрастает или нестрого убывает на X.
Теорема 4.9 (о пределах монотонной функции). Пусть f:(a,b)→R монотонна на (a,b). Тогда:
Существует f(b−0), равный sup, если f нестрого возрастает на (a, b), и равный \inf \limits _{(a, b)} f, если f нестрого убывает на (a, b).
Существует f(a + 0), равный \inf \limits _{(a, b)} f, если f нестрого возрастает на (a, b), и равный \sup \limits _{(a, b)} f, если f нестрого убывает на (a, b).
\blacktriangle Пусть f нестрого возрастает на (a, b), s = \sup \limits _{(a, b)} f. Покажем, что \exists f(b-0) = s.
s \in \mathbb {R}\Rightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0, b-\delta \in (a, b)\colon f(b - \delta ) > s - \varepsilon . В силу нестрогого возрастания f на (a, b) имеем: \forall x \in (b-\delta , b)\colon s \geqslant f(x) \geqslant f(b-\delta ) > s-\varepsilon , т.е. f(x) \in B_\varepsilon (s) \Rightarrow f(b-0) = s.
s = +\infty \Rightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0, b-\delta \in (a, b)\colon f(b-\delta ) > \frac1\varepsilon . В силу нестрогого возрастания f на (a, b) имеем: \forall x \in (b-\delta , b)\colon f(x) \geqslant f(x-\delta ) > \frac1\varepsilon , т.е. f(x) \in B_\varepsilon (+\infty ) \Rightarrow f(b-0) = +\infty .
Остальные случаи аналогичны. \blacksquare
Следствие 1. Пусть f монотонна в B_\Delta (a)\ (a \in \mathbb {R}), тогда существует конечные f(a-0) и f(a+0). Если f нестрого возрастает в B_\Delta (a) то f(a-0) \leqslant f(a) \leqslant f(a+0). Если f нестрого убывает в B_\Delta (a) то f(a-0) \geqslant f(a) \geqslant f(a+0).
\blacktriangle Если f нестрого возрастает в B_\Delta (a), то по предыдущей теореме:
f(a-0) = \sup \limits _{(a-\Delta , a)} f \leqslant f(a) \leqslant \inf \limits _{(a, a+\Delta )} f = f(a+0). Случай нестрого убывания аналогичен. \blacksquare
Следствие 2. Пусть f монотонна на I \subset \mathbb {R}, где I — отрезок, полуинтервал, интервал (возможно с одним или с двумя бесконечными концами).
Если x \in I, x \not= \sup I, f(x) \not= f(x+0), то интервал с концами f(x) и f(x+0) не пересекается с f(I), но с обеих сторон содержит точки из f(I).
Если x \in I, x \not= \inf I, f(x) \not= f(x-0), то интервал с концами f(x-0) и f(x) не пересекается с f(I), но с обеих сторон содержит точки из f(I).
\blacktriangle Пусть f нестрого возрастает на I, x \in I, x \not= \sup I.
Тогда \forall t \in I, t \leqslant x\colon f(t) \leqslant f(x);\quad \forall t \in I, t > x\colon f(t) \geqslant \inf \limits _{(x, \sup I)} f = f(x+0).
Следовательно, если f(x) \not= f(x+0), то интервал (f(x), f(x+0)) \cap f(I) = \varnothing , хотя с обеих сторон имеет точки из f(I).
Случай, когда f нестрого убывает на I рассматривается аналогично. \blacksquare